Question

如图所示,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=6,F是AB边上的中点,点D,E分别在

如图所示,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=6,F是AB边上的中点,点D,E分别在AC,BC边上运动，连结DE,DF，EF，且保持DF⊥EF。当△ADF与△BEF的面积比为1:2时，请回答下列问题:
(1)判断△DFE的形状，并证明。
(2)DE的长为多少？

Answer 1

（1）三角形DFE是等腰直角三角形
证明：连接CF
因为F是AB边上的中点
所以CF是等腰直角三角形ABC的中线 ，垂线，角平分线
所以AC=BC
角ACB=90度
角A=角B=45度
CF=AF=BF=1/2AB
角AFC=角BFC=90度
角ACF=角BCF=1/2角ACB=45度
所以角A=角BCF=45度
因为DF垂直EF
所以角DFE=角CFD+角CFE=90度
因为角AFC=角AFD+角CFD=90度
所以角AFD=角CFE
所以三角形AFD全等三角形CFE (ASA)
所以S三角形AFD=S三角形CFE
AD=CE
DE=FE
所以三角形DFE是等腰三角形
因为角DFE=90度
所以三角形DFE是等腰直角三角形
（2）解：因为S三角形AFD=S三角形CFE
S三角形AFD：S三角形BEF=1： 2
所以S三角形CFE/S三角形BEF=CE/BE=1/2
因为AC=BC
AC=6
BC=CE+BE
所以CE=2 BE=4
因为AC=AD+CD
BC=CE+BE
AD=CE (已证）
所以CD=BE=4
因为角ACB=90度（已证）
所以三角形DCE是直角三角形
所以DE^2=CD^2+CE^2
所以DE=2倍根号5

Answer 2

解；连接CF．
1)∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB，
∵AD=CE，
∴△ADF≌△CEF，
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD，
∵∠AFD+∠CFD=90°
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，
2)∵△ADF≌△CEF，
∴S △ CEF =S △ ADF ，
又△ADF与△BEF的面积比为1:2，AC=6,
∴AD=CE=2且 S △ ADF+S △ BEF=S △ CEF+S △ BEF=S △CFB=6x3/2=9，
∴CD=AC-AD=6-2=4
∴S △ CDE=2x4/2=4
∴S △ DEF=S △ABC-S △ CDE-S △ ADF-S △ BEF=6x6/2-4-9=5
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴DE=√(5x2x2)=2√5

追问

AD为什么等于CE

追答

因为△ADF≌△CEF