Question

等边△ABC中，D在AC上，延长BC至E，使CE=AD，DF⊥BC于F,若D是AC的中点,求证DB=DE,BF=EF

Answer 1

D 是AC的中点，CD=AD
因为，CE=AD
所以，CE=CD
三角形CDE是等边三角形，
因为三角形ABC是等边三角形，
所以，<ACB=60º
那么 <E=1/2<ACB=30º
因为 BD是等边三角形ABC的中线，BD平分<ABC
所以，<DBE=30º
因此，三角形BCD是等边三角形，DB=DE
DF是等边三角形BCD底边BE上的高，也是BE的中线
所以，BF=EF

Answer 2

连接BD，D是AC的中点，所以AD=DC，又CE=AD，所以CE=CD，从而角CDE=角CED，又角ACB=60°，所以角CDE=角CED=30°，BD是等边△ABC的中线，角DBE=30°，所以角DBE=角CED，所以△DCB是等腰三角形，所以DB=DE，又DF⊥BC，则DF是△DCB的中线，所以BF=EF

Answer 3

证明：
∵⊿ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60º
∵D是AC中点，即BD是中线。根据三线合一
BD是∠ABC的平分线
∴∠DBC=½∠ABC=30º
∵CE=AD=CD
∴∠CDE=∠E
∵∠ACB=∠CDE+∠E
∴∠E=½∠ACB=30º
∴∠DBC=∠E
∴BD=DE，即⊿BDE是等腰三角形
∵DF⊥BE，根据三线合一
DF是中线
∴BF=EF

Answer 4

证明：D 是AC的中点，CD=AD
因为，CE=AD
所以，CE=CD
三角形CDE是等边三角形，
因为三角形ABC是等边三角形，
所以，<ACB=60º
那么 <E=1/2<ACB=30º
因为 BD是等边三角形ABC的中线，BD平分<ABC
所以，<DBE=30º
因此，三角形BCD是等边三角形，DB=DE
DF是等边三角形BCD底边BE上的高，也是BE的中线
所以，BF=EF

Answer 5

先证明BF=FE
设：等边三角形ABC的边长是a
则DC=AD=CE=1/2a
FC=1/2DC=1/4a(直角三角形30度角所对直角边，等于斜边一半)
BF=BC-CF=a-1/4a=3/4a
FE=FC+CE=1/4a+1/2a=3/4a
BF=FE
然后，证明三角形DBF和DEF全等
三个条件：
DF=DF（同边）
角DFB=角DFE (直角，F是垂足)
BF=FE（已证明）