Question

数列极限问题

对于任意自然数n，方程x^n+x^(n-1)+...+x=1恰有一个正根xn,证明数列xn收敛，并求其极限。

Answer 1

令Fn(x)=x^n+x^(n-1)+...+x-1;
当x>0时；Fn'(x)=n*x^(n-1)+...+x+1>0;
Fn(x)在[0,∞)单调递增。
又因为Fn(0)=-1,Fn(1)=n-1,
Fn(0)*Fn(1)<=0,当且仅当n=1时，等号成立。
故在(0,1]上必有且仅有一根xn>0；
F(n+1)(x)=Fn(x)+x^(n+1);
F(n+1)(x(n+1))=0,即x(n+1)是F(n+1)=0的根；
F(n+1)(x(n))=Fn(x(n))+x(n)^(n+1)>0=F(n+1)(x(n+1));
得0<x(n+1)<x(n)<=x1=1即xn是单调递减有界的;
单调有界的数列必收敛；
设n趋于无穷大时，xn收敛到a,易得0<=a<1
[x(n)^(n+1)-1]/(x(n)-1)=2；(等比前n项和)
lim[x(n)^(n+1)-1]/(x(n)-1)
= lim[a^(n+1)-1]/(a-1)
=1/(1-a)
解得：a=1/2;
即xn的极限为1/2

Answer 2

一。证明收敛性
xn满足x^n+x^(n-1)+...+x=1， x(n+1)满足x^(n+1)+x^n+...+x=1 ,所以x^n+x^(n-1)+...+x<1
根据f(x)=x^n+x^(n-1)+...+x在x>0上单调知0<x(n+1)<xn 单调下降有下届必有极限
二。求极限
对于n>=2 , xn<=x2<0.9
方程两边同乘x-1得x^(n+1)-2x+1=0 x=1/2 *(1+x^(n+1)) 0.5<x<0.5 (1+0.9^(n+1)) 夹逼定理知xn极限为0.5

Answer 3

x^n+x^(n-1)+...+x=1
则x+x^2+.....+x^n=1
x*[x^n-1]/(x-1)=1
x^n=2-1/x
则存在常数2，对于任意给定的正数δ(无论多小)，总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-2|<δ成立
所以称数列{Xn}收敛于2（即极限为2）

Answer 4

x^n+x^(n-1)+...+x=[x^(n+1)-1]/(x-1)=1
x^(n+1)=x
x=1
我晕。。。。。。

追问

x^n+x^(n-1)+...+x+1=[x^(n+1)-1]/(x-1).....

追答

x^n+x^(n-1)+...+x=1
x^n+x^(n-1)+...+x+1=2
[x^(n+1)-1]/(x-1)=2
x^(n+1)-1=2*(x-1)
x^(n+1)-2x+1=0
(x+1)^(n+1)-2(x+1)+1=x^(n+1)-2x+1
(x+1)^(n+1)-x^(n+1)=2
x收敛