Question

如图，已知AB是圆O的弦，OB=2，角B=30°，C是弦AB上的任意一点（不与A,B重合),连接CO并延长CO交与圆O于点

3）当AC的长度为多少时，以A,C,D为顶点的三角形与以B,C,O为顶点的三角形相似？请写出解答过程。

Answer 1

解：过点O作OE⊥AB于E，
则AE=BE= 12AB，∠OEB=90°，
∵OB=2，∠B=30°，
∴BE=OB•cos∠B=2× 32= 3，
∴AB=2 3；
故答案为：2 3；

（2）连接OA，
∵OA=OB，OA=OD，
∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，
∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D，
又∵∠B=30°，∠D=20°，
∴∠DAB=50°，
∴∠BOD=2∠DAB=100°；

（3）∵∠BCO=∠A+∠D，
∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D，
∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，
此时∠BOC=60°，∠BOD=120°，
∴∠DAC=60°，
∴△DAC∽△BOC，
∵∠BCO=90°，
即OC⊥AB，
∴AC= 12AB= 3．

Answer 2

（3）∵∠BCO=∠A+∠D，
∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D，
∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，
此时∠BOC=60°，∠BOD=120°，
∴∠DAC=60°，
∴△DAC全等于△BOC，
∵∠BCO=90°，
即OC⊥AB，
∴AC=1/2AB=根号3

Answer 3

解：过点O作OE⊥AB于E，
则AE=BE= 12AB，∠OEB=90°，
∵OB=2，∠B=30°，
∴BE=OB•cos∠B=2× 32= 3，
∴AB=2 3；
故答案为：2 3；

（2）连接OA，
∵OA=OB，OA=OD，
∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，
∴∠DAB=∠BAO ∠DAO=∠B ∠D，
又∵∠B=30°，∠D=20°，
∴∠DAB=50°，
∴∠BOD=2∠DAB=100°；

（3）∵∠BCO=∠A ∠D，
∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D，
∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，
此时∠BOC=60°，∠BOD=120°，
∴∠DAC=60°，
∴△DAC∽△BOC，
∵∠BCO=90°，
即OC⊥AB，
∴AC= 12AB= 3．

Answer 4

（3）∵∠BCO=∠A+∠D，
∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D，
∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，
此时∠BOC=60°，∠BOD=120°，
∴∠DAC=60°，
∴△DAC∽△BOC，
∵∠BCO=90°，
即OC⊥AB，
∴AC= 1/2AB= 根号3．