Question

证明：方程2^x-x^2=1有且仅有三个互异的实根

Answer 1

设f(x)=2^x-x^2-1;
f‘(x)=ln2*2^x-2x;
f''(x)=ln2*ln2*2^x-2;单调，只有一个零点。
故f'(x)至多有两个零点。（roll定理，每两个零点间都有一个导数的零点）
所以f(x)至多三个零点。（理由同上）
当x趋于负无穷时f趋于负无穷。
f(0)=0,f(1)=0,f(2)=-1<0, （纯粹是巧合，就是要找几个点使得函数值异号，从而这些点间必然有根，介值性）
当x趋于正无穷的时候f趋于正无穷
所以在2的后面还有一个零点 。那么f至少有3个互异的实根。
又因为f至多有三个实根
所以f有且仅有三个互异的实根。

Answer 2

令f(x)=2^x-x²-1, 则问题等价于函数f(x)有且仅有三个零点. 显然x=0, x=1是f(x)的两个零点. 此外, f(4)×f(5)=-1×6=-6<0表明f(x)在区间(4,5)内至少有一个零点. 这就证明了原方程至少有三个相异实根.
f'(x)=2^xln2-2x
f''(x)=2^x(ln2)²-2
令f''(x)=0得它的一个零点x0=log(2)[2/(ln2)²]>2.
当x<x0时, f''(x)<0, 从而f'(x)在(-∞,x0)内单调减少;
当x>x0时, f''(x)>0, 从而f'(x)在(x0,+∞)内单调增加.
f'(x0)=2/(ln2)²×ln2-2log(2)[2/(ln2)²]=2/ln2-2log(2)[2/(ln2)²]=2log(2)e-2log(2)[2/(ln2)²]<0
由于f'(0)=ln2>0, f(4)=16ln2-8>0, 所以f'(x)在(0,x0)与(x0,4)内各有一个零点, 且由f'(x)的单调性可知它只有这两个零点, 设为c, d, 且
当x<c时, f'(x)>f'(c)=0, 从而f(x)单调增加;
当c<x<d时, f'(x)<0, 从而f(x)单调减少;
当x>d时, f'(x)>f'(d)=0, 从而f(x)单调增加.
因此, f(x)至多有三个零点, 即方程至多有三个实根.
综上, 原方程有三个不同实根.

追问

x0=log(2)[2/(ln2)²]为什么>2.
还有为什么当xf'(c)=0, 从而f(x)单调增加;

追答

因为2/(ln2)²>4, 所以log(2)2/(ln2)²>log(2)4=2
c∈(0,x0)包含于(-∞,x0), 而函数f'(x)在(-∞,x0)内单调减少（见上面第六行）, 所以当xf'(c)=0, 从而f(x)单调增加;

Answer 3

设f(x)=2^x-x^2-1;f‘(x)=ln2*2^x-2x;f''(x)=ln2*ln2*2^x-2;单调,只有一个零点.故f'(x)至多有两个零点.（roll定理,每两个零点间都有一个导数的零点）所以f(x)至多三个零点.（理由同上）当x趋于负无穷时f趋于负无穷.f(0)=0,f(1)=0,f(2)=-1