Question

如图、正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上，且CC1=3EC

1.证明AC1⊥平面BED
2.求二面角E-DB-C的余弦值

Answer 1

用空间向量方法计算了一下，题目有两处有误。1、应该是CC1=4EC，或C1E=3CE，2、应是A1C⊥平面BDE。

1、连结对角线AC和BD，交于O，

因是正四棱柱，则四边形ABCD是正方形，

则AC⊥BD，

AC是A1C在平面ABCD上的射影，根据三垂线定理，

则BD⊥A1C，

在矩形ACC1A1中，OE和A1C相交于F，

CE=1，CC1=4，AC=2√2，OC=√2，

CE/AC=1/（2√2）=√2/4，OC/CC1=√2/4，

CE/AC=OC/CC1。

〈OCE=〈C1CA=90°，

△OCE∽C1CA，

则〈CEO=〈CAC，

〈COE=〈AC1C，

〈C1AC=〈〈A1CA，

故〈OEC=〈OCA1，

〈OCA1+〈A1CE=90°，

则〈A1CE+〈CEO=90°，

故〈EFC=90°，

故OE⊥A1C，

OE∩BD=O，

故A1C⊥平面BDE。

2、△DEC≌BEC，

DE=BE。

O是BD中点，

则OE⊥BD，

CO⊥BD，

故〈EOC是二面角E-BD-C的平面角，

CO=AC/2=√2，

EC=1，

根据勾股定理，OE=√3，

cos<EOC=OC/OE=√2/√3=√6/3，

二面角E-DB-C的余弦值为√6/3。

Answer 2

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