Question

根号下1-x^2乘以arcsinx对x的积分怎么求

Answer 1

具体回答如下：

令x=sint

原式

=∫sintcost*tcostdt

=∫t(sintcost^2)dt

=t(-1/3cost^3)-∫-1/3cost^3dt

=-tcost^3/3+∫1/3(1-sint^2)costdt

=-tcost^3/3+∫1/3(cost-sint^2cost)dt

=-tcost^3/3+1/3sint-1/9sint^3

函数积分的意义：

函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。

对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。

Answer 2

可以考虑换元法，答案如图所示

Answer 3

令arcsinx＝u，则：x＝sinu，∴√（1－x^2）＝cosu，且dx＝cosudu，
∴∫［√（1－x^2）］arcsinxdx
＝∫cosu·ucosudu
＝∫u（cosu）^2du
＝（1/2）∫u（1＋cos2u）du
＝（1/2）∫udu＋（1/2）∫ucos2udu
＝（1/4）u^2＋（1/4）∫ud（sin2u）
＝（1/4）（arcsinx）^2＋（1/4）usin2u－（1/4）∫sin2udu
＝（1/4）（arcsinx）^2＋（1/4）arcsinx·2sinucosu＋（1/8）cos2u＋C
＝（1/4）（arcsinx）^2＋（1/2）x［√（1－x^2）］arcsinx－（1/4）（sinu）^2＋C
＝（1/4）（arcsinx）^2＋（1/2）x［√（1－x^2）］arcsinx－（1/4）x^2＋C。