Question

求解一道高数证明题：f（x）在【0，1】可导，f（0）=f（1）=0，f（1/2）=1。。。。。。

f（x）在【0，1】可导，f（0）=f（1）=0，f（1/2）=1，求证：至少存在一个数a∈（0，1），使f‘（a）+f（a）-a-1=0。

Answer 1

本题考查介质定理和拉格朗日中值定理！
∵1/3,2/3∈(0,1)
f(x)在[0,1]上连续，
∴根据介值定理，∃x1，x2∈(0,1)，使得：
f(x1)=1/3
f(x2)=2/3
又∵
f(x)在区间(0,x1),(x1,x2),(x2,1)可导，在[0,x1],[x1,x2],[x2,1]连续，
根据拉格朗日中值定理：
∃ξ1∈(0,x1)
∃ξ2∈(x1,x2)
∃ξ3∈(x2,1)
使得：
f(x1)-f(0) =f'(ξ1)·(x1-0)
f(x2)-f(x1)=f'(ξ2)·(x2-x1)
f(1)-f(x2)=f'(ξ3)·(1-x2)
因此：
1/f'(ξ1) = (x1-0)/f(x1)-f(0) =x1/(1/3)=3x1
1/f'(ξ2) = (x2-x1)/f(x2)-f(x1) =(x2-x1)/(1/3)=3x2-3x1
1/f'(ξ3) = (1-x2)/f(1)-f(x2) =(1-x2)/(1/3)=3-3x2
上述各式相加：
1/f'(ξ1) + 1/f'(ξ2) + 1/f'(ξ3) = 3x1+3x2-3x1+3-3x2=3