Question

数学 直线与平面垂直的判定

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8， AB=2DC=4根号五
1 设M是PC上一点，证明： 平面MBD⊥平面PAD
2 求四棱锥P-ABCD的体积

Answer 1

（1）过P作PO垂直于AD于O；则O为AD中点；
又平面卜耐PAD⊥平面ABCD，AD为交线，BD在在平面ABCD 内
所以PO⊥BD；
∵AD=4，BD=8，AB=4根号5
∴笑迅根据勾股定理BD⊥AD
又PO与AD相交于点O，所以BD⊥平面PAD；
因为BD在平面MBD 内，所以平面MBD⊥平面PAD
（2）根据V=(1/3)Sh求体积
根据题意PO为四棱锥的高，即h=2根号3
sin∠DAB=BD/AB=2/根号5，所以S=0.5*(2根号5+4根号5)*4*sin∠DAB=24
∴V=(1/3)Sh=(1/3)*2根号型升春3*24=16根号3
ps：我不知道有没有算错，具体你自己验证下吧！

Answer 2

解悉明：（1）因为平面PAD⊥平面ABCD ，BD在平面ABCD 内
所以BD ⊥平面PAD
又因为肢亏BD在历陆神平面MDB内
所以平面MBD⊥平面PAD