Question

一条直线垂直于一个平面另一条直线与这个直线平行,那么这个直线垂直于那个平 面吗

Answer 1

垂直。
两条直线平行，如果其中一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面。
另外，两条直线如果平行，则与同一个平面的夹角相等。

追问

书上有这个定理吗？

追答

有推论的，这是平行线的性质传递。
请点个采纳呗。

Answer 2

已知 a⟂α，b∥a，求证 b⟂α。
证明：在平面 α 上，过直线 b 与α的交点作两条直线 l,m，由垂线的定义知 a⟂l，a⟂m，即 a 与 l,m 的夹角都是 90°，由夹角的定义知 b 与 l,m 的夹角也是 90°，即 b⟂l，b⟂m，而 l，m 是α上的两条交线，所以 b⟂α（直线与平面垂直的判定定理）。
通过这个推论，应该还可以证明“垂直于同一个平面的两条直线平行”的定理。如果平面α有垂线 a,b，b∩α= O，经过点 O 的 a 的平行线也只有一条，由上述推论可知这条平行线就是垂线 b，所以 b∥a。教科书上采用的是反证法，我的这个证法够不够严谨，请网友评论。
在上面的问题中，过点 O 的直线 a 的平行线和平面α的垂线都只有一条。题外话，我想到，如果一个命题能够表示为“如果丙与甲有关系 A 成立，那么丙与乙有关系 B 成立”的形式，而问题中与甲成关系 A、与乙成关系 B 的元素都有且仅有一个，那么它们其实是同一个元素，所以这个命题的逆命题与它等价。也许可以作出这样的通用表示：任给 a,b,c，c = f(a) => c = g(b) 能够推出 f(a) = g(b)，所以它等价于 c = g(b) => c = f(a)。
而这里对于 c = g(b) => c = f(a) 的反证法就是，已知 c = g(b)，假设 c ≠ f(a)，有 c' = f(a)，再由 c' = f(a) => c' = g(b)，而 c = g(b)，c≠c' 得出矛盾，这样看起来似乎有点多余，相当于由 a,b⟂α，b 是平面α的过垂足 O 的垂线，这样证明 a∥b：假设 b 不是 a 的平行线，再过点 O 作一条 a 的平行线 b'，由你的这个推论得出 b' 是过点 O 的α的垂线，得出过点 O 有两条α的垂线 b,b'（相当于得到 g(b)≠g(b)），得到矛盾。不过教科书上给出反证法之前还没有给出你的这个问题的证明，没有用到这个推论。