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2010学年度第一学期期中质量抽测
初 三 数 学
（满分：100分 完卷时间：90分钟） 2010.11
一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．若 ，则下列比例式正确的是…………………………………………………（ ）
（A） ； （B） ； （C） ； （D） ．
2． 如图1， ，下列比例式中正确的是………………………………………（ ）
（A） ； （B） ； （C） ； （D） ．
3．如图2，△ABC中，DE//BC交AB于点D，交AC于点E，如果 ，那么下列等式成立的是 …………………………………………………………………（ ）
（A） ； （B） ；
（C） ； （D） ．
4．如果 ，那么下列结论正确的是 …………………………………………（ ）
（A） ； （B） ； （C） ； （D） ．
5． 如图3，在Rt△ABC中，∠ACB= ，CD⊥AB于D，下列式子正确的是………（ ）
（A） ； （B） ； （C） ； （D） ．
6．下列各组图形必相似的是……………………………………………………………（ ）
（A）任意两个等腰三角形；
（B）有两边对应成比例，且有一个角对应相等的两三角形；
（C）两边为4和5的直角三角形与两边为8和10的直角三角形；
（D）两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形．
二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．线段4和9的比例中项是 ．
8．如果 ， ，那么 ．
9．点P为线段AB的黄金分割点（PA＞PB），则关于PA、PB、AB的比例式是 ．
10．等腰直角三角形斜边上的高与直角边之比为 ．
11．在△ABC中，若中线AD和中线CE相交于G，则 ．
12．线段AB与CD交于点O，若AB=3AO，则当CO:DO的值为 时，线段AC//BD．
13．三角形的周长是a，三边中点连线所组成的三角形的周长是 ．
14．化简： = ．
15．已知 ，如果 ，那么 ．
16．如图4，矩形DEFG内接于△ABC，BC=6cm，DE=3cm，EF=2cm，则BC边上的高的长是 ．
17．如图5，梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC、DB交于点O，如果S△AOD∶S△ABD=2∶5，那么S△AOD∶S△BOC= ．
18．若△ABC∽△DEF，且∠A=∠E，AB=DF=6，BC=5，AC=4，则DE= ．
三、解答题（本大题共7题，满分46分）
19．（本题满分5分）如图6，在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC、BD交于点O，BE//CD交CA延长线于点E。
求证：
20．（本题满分5分）如图7，锐角△ABC中，AB=10cm，BC=9cm，△ABC的面积为27cm2。求tanB的值。
21．（本题满分5分）如图8，矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，且EF//BD，AD=3AF， CF交BD于G，设 。
（1）用 表示 ；
（2）作出向量 分别在 、 方向上的分向量，
并分别用 、 表示（写出结论，不要求写作法）．
22．(本题满分5分) 如图9，梯形ABCD中，AB//CD，AB=12，CD=9，过对角线交点O作EF//AB交AD于E，交BC于F。求EF的长。
23．(本题满分6分) 如图10，已知△ABC中，AC=BC，点D在边AB上，且BD=2AD，点E为边AC的中点，联结DE、DC。
求证： .
24．（本题满分8分）已知△ABC中，AC=4，BC=5，AB=6。
（1）如图11，点D为边AC上任意一点，点E在边AB上，且△ADE与△ABC相似。
① 请在图11中画出所有符合题意的△ADE(不必尺规作图)；
② 若AD=m，试用m的代数式表示AE的长；
（2）点M、N分别在边AB、BC上，且△BMN与△ABC相似，若AM=x，试求当符合题意的△BMN唯一时，x的取值范围（请写出必要的解题过程）。
25．（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）
如图12，已知等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD:BC=1:2，点E为边AB中点，点F是边BC上一动点，线段CE与线段DF交于点G。
（1）若 ，求 的值；
（2）联结AG，在（1）的条件下，写出线段AG和线段DC的位置关系和数量关系，并说明理由；
（3）联结AG，若AD=2，AB=3，且△ADG与△CDF相似，求BF的长。
2010学年度第一学期期中初三数学答案及评分标准
一、（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．C；2．B；3．D；4．B；5．A；6．D
二、（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．6；8．4；9． ；10． ；11．2:3；12． ；13．
14． ；15． ；16．4；17．4:9；18． 或
三、解答题（本大题共7题，满分46分）
19.证明：∵AD//BC，∴ ，--------------------------------2分
又∵BE//CD，∴ ---------------------------------------------2分
∴ ，即∴ ---------------------------------1分
20.解：过点A作AH⊥BC于H，--------------------------------------1分
∵S△ABC=27，∴ ，∴AH=6-------------------------1分
∵AB=10，∴BH=8---------------------------------------------------------1分
∴tanB= -----------------------------------------------------------------1分
= --------------------------------------------------------------------1分
21.解：（1）∵EF//BD，∴ ，而AD=3AF，∴BD=3EF，---------------1分
∴ 。-----------------------------------2分
（2）作出的图形中， 在 、 方向上的分向量分别是 、 ． -----------2分
22.解：∵AB//CD，AB=12，CD=9，∴ ----------------------1分
∴ ----------------------------------------------------------------------1分
∵EF//AB，∴ ， -------------------------------1分
∴ -------------------------------------------------1分
∴ --------------------------------------------------------------------1分
23.证明：∵点E为边AC的中点，∴ ，∵AC=BC，∴ ---1分
又∵BD=2AD，∴ --------------------------------------------------------------1分
∴ -------------------------------------------------------------------------------1分
∵AC=BC，∴∠A=∠B，
∴△ADE∽△BDC-------------------------------------------------------------------------1分
∴ ,------------------------------------------------------------------------------1分
∵AC=BC，∴ ,即 --------------------------------1分
24.解：（1）①略---------------------------------------------------------------------------2分
② 情况一：∵△AED∽△ABC，且∠AED=∠ABC，
∴ ,∴ --------------------------------------------1分
情况二：∵△ADE∽△ABC，且∠AED=∠ABC，
∴ ,∴ --------------------------------------------1分
（2）∵当MN//AC时，△BMN与△ABC相似总是存立，
∴只要求出点N与点C重合，且△BMN∽△BCA 时AM的长即可。--1分
当△BMN∽△BCA (N与C重合)时 ，有∠BMC=∠ACB，则
即 ，∴ ---------------------------------------------------------1分
∴当符合题意的△BMN唯一时，x的取值范围是 ------------2分
25.解：（1）∵BF: FC=1:3，∴设BF=k，则FC=3k，BC=4k，∵AD:BC=1:2，∴AD=2k
延长CE交DA的延长线于点M，∵AD//BC，∴ ，且 -----2分
∵点E为边AB中点，∴AM=BC=4k，∴DM=DA+AM=2k+4k=6k，
∴ 。------------------------------------------------------------------------------------1分
（2）AG//DC，且 ------------------------------------------------------------------------2分
证明： ∵AD//BC，∴ ，
∵ ，∴ ，∴AG//DC。-----------------------------------------1分
∴ 。--------------------------------------------------------------------------------1分
（3）∵ABCD是等腰梯形，AD=2，AD:BC=1:2，∴BC=4，
∵AD//BC，∴∠ADG=∠DFC，-----------------------------------------------------------------1分
∵△ADG与△CDF相似，
方法一：∴∠AGD=∠FDC或∠DAG=∠FDC---------------------------------------1分,1分
情况1，当∠AGD=∠FDC时，有AG//DC，延长CE交DA的延长线于点M，可得AM =4，
由 得 ，∴AG=2
∵△ADG与△CDF相似，且∠AGD=∠FDC，∴ ，即 ，∴CF=3
∴BF=1---------------------------------------------------------------------------------------------1分
情况2，当∠DAG=∠FDC时，延长AG交BC于点T，可得△ABT∽△FCD，
则 ,由AD//BC得 ,∴FT= ，∴ ，
整理得： ，∵ ，∴无解；--------------------------1分
∴BF=1
方法二：∴ 或 ----------------------------------------------------1分,1分
过D作DH⊥BC于H，可得 DF=
延长CE交DA的延长线于点M，得AM =4，∴ ，∴
∴
由 得： ，
整理得： ，∵ ，∴无解；--------------------------1分
或 得
解得： ，------------------------------------------------------------------------------------1分
∴BF=1
初 三 数 学
（满分：100分 完卷时间：90分钟） 2010.11
一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．若 ，则下列比例式正确的是…………………………………………………（ ）
（A） ； （B） ； （C） ； （D） ．
2． 如图1， ，下列比例式中正确的是………………………………………（ ）
（A） ； （B） ； （C） ； （D） ．
3．如图2，△ABC中，DE//BC交AB于点D，交AC于点E，如果 ，那么下列等式成立的是 …………………………………………………………………（ ）
（A） ； （B） ；
（C） ； （D） ．
4．如果 ，那么下列结论正确的是 …………………………………………（ ）
（A） ； （B） ； （C） ； （D） ．
5． 如图3，在Rt△ABC中，∠ACB= ，CD⊥AB于D，下列式子正确的是………（ ）
（A） ； （B） ； （C） ； （D） ．
6．下列各组图形必相似的是……………………………………………………………（ ）
（A）任意两个等腰三角形；
（B）有两边对应成比例，且有一个角对应相等的两三角形；
（C）两边为4和5的直角三角形与两边为8和10的直角三角形；
（D）两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形．
二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．线段4和9的比例中项是 ．
8．如果 ， ，那么 ．
9．点P为线段AB的黄金分割点（PA＞PB），则关于PA、PB、AB的比例式是 ．
10．等腰直角三角形斜边上的高与直角边之比为 ．
11．在△ABC中，若中线AD和中线CE相交于G，则 ．
12．线段AB与CD交于点O，若AB=3AO，则当CO:DO的值为 时，线段AC//BD．
13．三角形的周长是a，三边中点连线所组成的三角形的周长是 ．
14．化简： = ．
15．已知 ，如果 ，那么 ．
16．如图4，矩形DEFG内接于△ABC，BC=6cm，DE=3cm，EF=2cm，则BC边上的高的长是 ．
17．如图5，梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC、DB交于点O，如果S△AOD∶S△ABD=2∶5，那么S△AOD∶S△BOC= ．
18．若△ABC∽△DEF，且∠A=∠E，AB=DF=6，BC=5，AC=4，则DE= ．
三、解答题（本大题共7题，满分46分）
19．（本题满分5分）如图6，在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC、BD交于点O，BE//CD交CA延长线于点E。
求证：
20．（本题满分5分）如图7，锐角△ABC中，AB=10cm，BC=9cm，△ABC的面积为27cm2。求tanB的值。
21．（本题满分5分）如图8，矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，且EF//BD，AD=3AF， CF交BD于G，设 。
（1）用 表示 ；
（2）作出向量 分别在 、 方向上的分向量，
并分别用 、 表示（写出结论，不要求写作法）．
22．(本题满分5分) 如图9，梯形ABCD中，AB//CD，AB=12，CD=9，过对角线交点O作EF//AB交AD于E，交BC于F。求EF的长。
23．(本题满分6分) 如图10，已知△ABC中，AC=BC，点D在边AB上，且BD=2AD，点E为边AC的中点，联结DE、DC。
求证： .
24．（本题满分8分）已知△ABC中，AC=4，BC=5，AB=6。
（1）如图11，点D为边AC上任意一点，点E在边AB上，且△ADE与△ABC相似。
① 请在图11中画出所有符合题意的△ADE(不必尺规作图)；
② 若AD=m，试用m的代数式表示AE的长；
（2）点M、N分别在边AB、BC上，且△BMN与△ABC相似，若AM=x，试求当符合题意的△BMN唯一时，x的取值范围（请写出必要的解题过程）。
25．（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）
如图12，已知等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD:BC=1:2，点E为边AB中点，点F是边BC上一动点，线段CE与线段DF交于点G。
（1）若 ，求 的值；
（2）联结AG，在（1）的条件下，写出线段AG和线段DC的位置关系和数量关系，并说明理由；
（3）联结AG，若AD=2，AB=3，且△ADG与△CDF相似，求BF的长。
2010学年度第一学期期中初三数学答案及评分标准
一、（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．C；2．B；3．D；4．B；5．A；6．D
二、（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．6；8．4；9． ；10． ；11．2:3；12． ；13．
14． ；15． ；16．4；17．4:9；18． 或
三、解答题（本大题共7题，满分46分）
19.证明：∵AD//BC，∴ ，--------------------------------2分
又∵BE//CD，∴ ---------------------------------------------2分
∴ ，即∴ ---------------------------------1分
20.解：过点A作AH⊥BC于H，--------------------------------------1分
∵S△ABC=27，∴ ，∴AH=6-------------------------1分
∵AB=10，∴BH=8---------------------------------------------------------1分
∴tanB= -----------------------------------------------------------------1分
= --------------------------------------------------------------------1分
21.解：（1）∵EF//BD，∴ ，而AD=3AF，∴BD=3EF，---------------1分
∴ 。-----------------------------------2分
（2）作出的图形中， 在 、 方向上的分向量分别是 、 ． -----------2分
22.解：∵AB//CD，AB=12，CD=9，∴ ----------------------1分
∴ ----------------------------------------------------------------------1分
∵EF//AB，∴ ， -------------------------------1分
∴ -------------------------------------------------1分
∴ --------------------------------------------------------------------1分
23.证明：∵点E为边AC的中点，∴ ，∵AC=BC，∴ ---1分
又∵BD=2AD，∴ --------------------------------------------------------------1分
∴ -------------------------------------------------------------------------------1分
∵AC=BC，∴∠A=∠B，
∴△ADE∽△BDC-------------------------------------------------------------------------1分
∴ ,------------------------------------------------------------------------------1分
∵AC=BC，∴ ,即 --------------------------------1分
24.解：（1）①略---------------------------------------------------------------------------2分
② 情况一：∵△AED∽△ABC，且∠AED=∠ABC，
∴ ,∴ --------------------------------------------1分
情况二：∵△ADE∽△ABC，且∠AED=∠ABC，
∴ ,∴ --------------------------------------------1分
（2）∵当MN//AC时，△BMN与△ABC相似总是存立，
∴只要求出点N与点C重合，且△BMN∽△BCA 时AM的长即可。--1分
当△BMN∽△BCA (N与C重合)时 ，有∠BMC=∠ACB，则
即 ，∴ ---------------------------------------------------------1分
∴当符合题意的△BMN唯一时，x的取值范围是 ------------2分
25.解：（1）∵BF: FC=1:3，∴设BF=k，则FC=3k，BC=4k，∵AD:BC=1:2，∴AD=2k
延长CE交DA的延长线于点M，∵AD//BC，∴ ，且 -----2分
∵点E为边AB中点，∴AM=BC=4k，∴DM=DA+AM=2k+4k=6k，
∴ 。------------------------------------------------------------------------------------1分
（2）AG//DC，且 ------------------------------------------------------------------------2分
证明： ∵AD//BC，∴ ，
∵ ，∴ ，∴AG//DC。-----------------------------------------1分
∴ 。--------------------------------------------------------------------------------1分
（3）∵ABCD是等腰梯形，AD=2，AD:BC=1:2，∴BC=4，
∵AD//BC，∴∠ADG=∠DFC，-----------------------------------------------------------------1分
∵△ADG与△CDF相似，
方法一：∴∠AGD=∠FDC或∠DAG=∠FDC---------------------------------------1分,1分
情况1，当∠AGD=∠FDC时，有AG//DC，延长CE交DA的延长线于点M，可得AM =4，
由 得 ，∴AG=2
∵△ADG与△CDF相似，且∠AGD=∠FDC，∴ ，即 ，∴CF=3
∴BF=1---------------------------------------------------------------------------------------------1分
情况2，当∠DAG=∠FDC时，延长AG交BC于点T，可得△ABT∽△FCD，
则 ,由AD//BC得 ,∴FT= ，∴ ，
整理得： ，∵ ，∴无解；--------------------------1分
∴BF=1
方法二：∴ 或 ----------------------------------------------------1分,1分
过D作DH⊥BC于H，可得 DF=
延长CE交DA的延长线于点M，得AM =4，∴ ，∴
∴
由 得： ，
整理得： ，∵ ，∴无解；--------------------------1分
或 得
解得： ，------------------------------------------------------------------------------------1分
∴BF=1
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