Question

多元函数求条件极值时，用拉格朗日乘数法求，多元函数中元的个数与附件条件的个数有没有关系啊？如高数课

多元函数求条件极值时，用拉格朗日乘数法求，多元函数中元的个数与附件条件的个数有没有关系啊？如高数课本上，z=f(x,y)这个二元函数求极值时，给定一个附加条件φ(x,y)=0，并列出拉格朗日函数，那多于二元的需要几个附加函数呢？
为什么啊

Answer 1

你想如果一共n元函数
你有k个条件，还有本身的一个方程
如果k+1>n
那么方程个数比未知数还多，显然正常情况下没有解的
这种方程成为超定方程组
除非神奇的有些方程线性相关，一般不可能
另一种可以解这种方程组，
在2范数意义下使得误差最小，就是有名的最小二乘
但是没法得到精确解，因为方程数过多
所以应该有k+1<=n
即条件个数小于等于n-1
若k=n
这n个条件本身就构成了一个n*n的方程组，直接可以解，不用求什么极值了~

Answer 2

n元函数的极值一般不多于n-1个条件.