Question

如图，在△ABC中，∠A=50°，AB＞AC，D、E分别在AB、AC上，且BD=CE，BE、CD相交于O点，∠BCD=∠EBC，M为BE

上一点，∠OCM=∠OBD.
（1）求证：CM=CE;
（2）求∠BOC的度数

Answer 1

1、∵〈OCB=〈OBC，
∴BO=CO，
∵〈MCO=〈DBO，（已知）
〈MOC=〈BOD，（对顶角相等），
△BDO≌△CMO，（ASA），
∴BD=CM，
∵CE=BD，（已知），
∴CM=CE。
2、∵BC=BC，
由上所述，BD=CM，
∵〈OBC=〈OCB，（已知），
〈DBO=〈MCO，（已知），
〈DBO+〈OBC=〈MCO+〈OCB，
∴〈DBC=〈MCB，
∴△CDB≌△CEB，
〈BDC=〈BMC，
〈CME=〈CEM，（由前所述）
〈BMC+〈CEM=180°，
〈AEO+〈MEC=180°，
∴〈BEA=〈BDC，
∵〈ADC+〈BDC=180°，
∴〈ADO+〈AEO=180°，
∵四边形ADOE内角和为360度，
∴〈A+〈DOE=360°-180°=180°，
∴〈DOE=180°-〈A=130°，
∵〈BOC=〈DOE，（对顶角），
∴〈BOC=130°。

Answer 2

（1）由∠BCD=∠EBC,可知△OBC为等腰三角形，OB=OC
又∠BOD=∠COM（对顶角），∠OCM=∠OBD，可知三角形OBD与COM相似，又OB=OC
可知三角形OBD与COM全等，则CM=BD，又BD=CE，
有CM=CE
（2） 由（1）可知，CM=CE，OB=OC，∠OCM=∠OBD
∠CEB是△ABE的补角，∠CEB=∠EBA+∠A=∠EBA+50
∠CME是△CBM的补角,∠CME=∠CBE+∠BCM=∠CBE+∠CBA=∠CBE+∠CBE+∠EBA
设∠CBE为x
∠CME=2x+∠EBA
又∠CME=∠CEB（CM=CE）
则有2x+∠EBA=∠EBA+50，得x=25
则在△OBC中，∠BOC=180-2x=130（△OBC为等腰三角形）