Question

lim[(1+1/x)^x^2]/e^x （X趋于正无穷）

具体的讲一下

Answer 1

先取自然对数得
lim（x→∞）ln{[(1+1/x)^x^2]/e^x }
=lim（x→∞）ln[(1+1/x)^x^2]-lne^x
=lim（x→∞）x^2ln(1+1/x)-x (令x=1/t)
=lim（t→0）ln(1+t)/t^2-1/t
=lim（t→0）[ln(1+t)-t]/t^2 (运用洛必达法则）
=lim（t→0）[1/(1+t)-1]/(2t)
=lim（t→0）[-t/(1+t)]/(2t)
=lim（t→0）-1/[2(1+t)]
=-1/2
所以
lim（x→∞）[(1+1/x)^x^2]/e^x
=lim（x→∞）e^ln{[(1+1/x)^x^2]/e^x }
=e^(-1/2)

Answer 2

e^(-1/2)

不能把极限分成两步，你如果lim{[(1+1/x)^x]^x}/e^x (（1+1/x）用重要公式替换)
=lime^x/e^=1

追问

为什么不能分成两步？用下面的方法为什么不对啊？

Answer 3

lim[(1+1/x)^x^2]/e^x
=lim[(1+1/x)^x*x]/e^x
=lim[e^x]/e^x
=1
我怎么觉得就这样做的？
楼上的是不是粘的这？
http://zhidao.baidu.com/question/300614619.html

Answer 4

以下lim略写
原=((1+1/x)^x/e)^x=(e^(xln(1+1/x)-1))^x=泰勒展开=(e^(x(1/x-1/x^2+o(x^2))-1))^x=e^-1/2