Question

已知二次函数f(x)=ax平方+bx（a，b为常数，且a不等于0）满足条件f（-x+5）=f（x-3）

且方程f（x）=x有实跟
（1）求f（x)的解析式
(2)是否存在实数m,n(m＜n），使f(x）的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n],如果存在，求出m,n的值，如果不存在，说明理由。
写详细过程

Answer 1

1。
由f(-x+5)=f(x-3)可知对称轴为 x=1 所以b/(-2a)=1 b=-2a; 因为ax^2+bx=x 即 ax^2+(b-1)x=0有重根 显然x1=x2=0 所以 b=1 a=-1/2 所以f(x)=-1/2x^2+x

2。
f(x)=-1/2x^2+x=-1/2(x-1)^2+1/2

分别讨论：
若1=<m<n 有函数的单调性可知(函数在[m,n]单减)：
3m=f(n)=-1/2n^2+n 3n=-1/2m^2+m
两式子相减得到3(m-n)=1/2(m+n)(m-n)-(m-n)
m+n=8则n=8-m带入得到 m^2-8m+48=0 其中Δ<0,故m，n无解；
若m<n<=1 又单调性(函数在[m,n]单增)知 3m=-1/2m^2+m 3n=-1/2n^2+n
得到m(m+4)=0,n(n+4)=0

此时m=-4 n=0满足条件(舍去m=0,n=-4)；
若m<1<n 由于此时函数的最大值必为X=1时取到为1/2；
所以 3n=1/2 所以 n=1/6 这与n>1矛盾
综合上述 存在这样的m，n
其中m=-4 n=0