Question

如图Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,P为AC上一动点,PE⊥AB于E,EF⊥BC于F。(1)求证:△APE，△EBF都与△ABC相

如图Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,P为AC上一动点,PE⊥AB于E,EF⊥BC于F。
(1)求证:△APE，△EBF都与△ABC相似；
(2)当P在AC上移动时，能否得到△PCF与△APE相似？若能得到，则当PA为何值时，△PCF与△APE相似？若不能得到，请说明理由。

Answer 1

（1）∵PE⊥AB于E，EF⊥BC于F
∴∠AEP=∠EFC=90°
∴∠A+∠APE=90°∠A+∠B=90°
即∠APE=∠B
∴△APE∽△ABC
因为角ACB=角EFB
∴BC∥EF，
∴∠FEB=∠A
∴∠PEB=180°-∠FEP=180°-∠A。
∵AC∥EF
∴∠PEF=∠APE
所以△APE∽△FEP
∴:△APE，△EBF都与△ABC相似
（2）设AP=X,则PC=3-X.AB=√(AC^2+BC^2)=5.
若△PCF与△APE相似,则△PCF与△ABC相似.
⊿AEP∽⊿ACB,则AP/AB=AE/AC,即X/5=AE/3,AE=0.6X.
EF平行AC,则AE/AB=CF/CB,0.6X/5=CF/4,CF=0.48X.
△PCF与△ABC相似,则PC/CF=CA/CB或PC/CF=CB/CA.
即(3-X)/(0.48X)=3/4或(3-X)/(0.48X)=4/3.
X=75/34或75/41.
即当PA=75/34或75/41时,△PCF与△APE相似.
求采纳！
好人！
第一问我是正确的，第二问都正确！
好人一路平安！

Answer 2

证明：
（1）
∵PE⊥AB、,EF⊥BC
∴∠PEA=∠EFB=90°
∵∠C=90°
∴AC//EF（同位角相等，两直线平行）
∴∠FEB=∠CAB
∴:△APE相似△EBF相似△ABC（两组对角相等的三角形相似）
（2)解:设AP=X,则PC=3-X.AB=√(AC^2+BC^2)=5.
若△PCF与△APE相似,则△PCF与△ABC相似.
⊿AEP∽⊿ACB,则AP/AB=AE/AC,即X/5=AE/3,AE=0.6X.
EF平行AC,则AE/AB=CF/CB,0.6X/5=CF/4,CF=0.48X.
△PCF与△ABC相似,则PC/CF=CA/CB或PC/CF=CB/CA.
即(3-X)/(0.48X)=3/4或(3-X)/(0.48X)=4/3.
X=75/34或75/41.
即当PA=75/34或75/41时,△PCF与△APE相似.

Answer 3

(1)证明:∠AEP=∠C=90°;∠A=∠A.则⊿APE∽⊿ABC;
∠EFB=∠C=90°;∠B=∠B.则⊿EBF∽⊿ABC.
(2)解:设AP=X,则PC=3-X.AB=√(AC^2+BC^2)=5.
若△PCF与△APE相似,则△PCF与△ABC相似.
⊿AEP∽⊿ACB,则AP/AB=AE/AC,即X/5=AE/3,AE=0.6X.
EF平行AC,则AE/AB=CF/CB,0.6X/5=CF/4,CF=0.48X.
△PCF与△ABC相似,则PC/CF=CA/CB或PC/CF=CB/CA.
即(3-X)/(0.48X)=3/4或(3-X)/(0.48X)=4/3.
X=75/34或75/41.
即当PA=75/34或75/41时,△PCF与△APE相似.