Question

已知在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于D,M为BC的中点。试说明DM=0.5AB

Answer 1

过M作EM⊥BC交AC于E，连结BE。

∵BM＝CM、EM⊥BC，∴EM是BC的垂直平分线，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠C。

又∠ABC＝2∠C，∴∠ABE＝∠EBC，∴由三角形内角平分线定理，有：AB/BC＝AE/CE。

∵AD⊥BC、EM⊥BC，∴AD∥EM，∴AE/CE＝DM/CM＝2DM/BC。

由AB/BC＝AE/CE、AE/CE＝2DM/BC，得：AB/BC＝2DM/BC，∴AB＝2DM，∴DM＝0.5AB。

Answer 2

【白天，时间充裕，给你两种证法】
证法1：
在CB的延长线上截取BE=AB，连接AE
则∠E=∠BAE
∵∠B=∠E+∠BAE=2∠E
∠B=2∠C
∴∠E=∠C
∴AE=AC，即⊿AEC是等腰三角形
∵AD⊥BC
∴DE=DC【三线合一】
∵M是BC的中点，即AM=MC
∴DC=DM+MC=DM+BM=DM+（BD+DM）=2DM+BD
∵DE=BE+BD=AB+BD
∴2DM=AB
∴DM=½AB
证法2：
取AB的中点N，连接DN，MN
∵M是BC的中点
∴MN是⊿ABC的中位线
∴MN//AC
∴∠C=∠DMN
∵AD⊥BC，即⊿ABD是直角三角形，则DN为斜边中线
∴DN=½AB=BN
∴∠B=∠NDB
∵∠B=2∠C=2∠DMN
∠NDB=∠DMN+∠DNM
∴∠DMN=∠DNM
∴DM=DN=½AB