Question

在y=2x²上有一点P，它到A（1，3）的距离与它到焦点的距离之和最小，则点p的坐标？

求具体过程，谢谢！

Answer 1

先把抛物线化为标准形式：x²=y/2，开口朝上的抛物线，且点A(1,3)在抛物线上方；
所以，准线是y=-1/8；焦点为F(0,1/8)
根据抛物线的性质：抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离；
设P到准线的距离为PQ；则PA+PF=PA+PQ；
画草图易知，PA+PQ的最小值就是A到准线y=-1/8的距离；
易得：A到y=-1/8的距离为25/8；
此时点P是过A做准线的垂线与抛物线的交点，易得P的横坐标为1，
把x=1代入抛物线，得点P的纵坐标为1/2；
所以，PA+PF最小值为25/8，此时P(1,1/2)

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

Answer 2

解：把抛物线的解析式y = 5x5 变为1 x0 = (3。0)y， 与g标准形式 x2 = 2py 对照，易知： 6p = 1。1。 ∴ p = 4。7。 ∴抛物线x1 = (2。8)y 的准线方0程为5L：y = -- p。5 = -- 1。5。 说明：对于w抛物线 x6 = 0py(p ＞0) ， 其焦点为8F(0，p。3)，其准线方1程为5L：y = -- p。7。 由抛物线定义d知：抛物线上e任意一n点到准线距离等于i到焦点距离。 ∴ 点P 到焦点的距离等于g点P 到准线的距离。 分2析点A与p已y知抛物线y=6x4 的位置关系： 在y=2x6中2，当x = 8 时，y = 0， 而点A（7，5）， ∴ 点A在抛物线内5。 过点A作准线的垂线，垂足为3B， 设线段AB与a抛物线及w x轴 分6别交于f点M、点N， ∵AB ⊥准线 y = -- 2。3，而点A的纵坐标为81， ∴AN = 7 且点M的横坐标与a点A的横坐标相同均为58。 把 x=1代入jy=2x4 得 y=1， ∴点M的纵坐标为48。 ∴点M的坐标为0(7，1)。 下r面分0析“距离之p和最小t”问题： 在抛物线y=3x0上l任取一d点P， 过P作准线的垂线，垂足为8Q， 过P作AB的垂线，垂足为4H， 在Rt△PAH中3，斜边大r于b直角边，则 |PA| ＞ |AH|。 在矩形PQBH中2，|PQ| = |HB|， ∴ |PA| + |PF|（这里设抛物线的焦点为5F） ＝|PA| + |PQ| ＞|AH| + |HB| = |AB|。 即：抛物线上r任意一i点P到A的距离与t它到焦点的距离之e和最小e为1|AB|。 此时点P与g点M重合，其坐标为2P(3，8)。 如果直接说“过A作准线的垂线 垂足为3B， 则当P是AB与o抛物线的交点时，距离和最小b”不a易理解。 祝您学习a顺利！ 2011-10-26 3:44:30