Question

y=x.cosx怎么求周期？

Answer 1

用反证法：
先设f(x)
=
y
=
xcosx,
且为周期函数，现来推出矛盾。
由周期函数的性质，存在一个t>0,
对任意的x都有f(x+t)=f(x)。
特别的当x=0时有，f(0+t)
=
f(0),即
tcost
=
0cos0
=
0.
注意到t为正数，则有cost
=
0
,
即
t
=
kpi
+
pi/2
,
其中pi表示圆周率，
k为整数。也就是说周期t必然是这样的形式。
现在，我们只须要说明
t
=
kpi
+
pi/2
不可能是函数的周期就行了。如若不然。那么就有
f(x
+
kpi
+
pi/2)
=
f(x)，对任意的x成立。
代入简单用诱导公式计算一下，可以得到矛盾。
从而得证。
由于不知道怎么输入符号，写得不详细，请原谅。

Answer 2

证明：假设y=xcosx是周期函数，
因为周期函数有f(x+T)=f(x)
xcosx=（x+T)cos(x+T)=xcosx*cosT-xsinx*sinT+Tcosx*cosT-Tsinx*sinT
所以cosT=1
T=kπ/2
-xsinx*sinT+Tcosx*cosT-Tsinx*sinT=0
-xsinx*sinT-Tsinx*sinT=0
(x+T)sinx*sinT=0
只能是sinT=0
T=kπ和T=kπ/2矛盾
所以不是周期函数