Question

证明cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

Answer 1

可以证
α+β=90°
因为cos是在直角三角函数里用，所以α和β都不可能是90°的那个角
根据三角形内角和为180°
∴α+β=90°
∴cos(α+β）=0（这个是规定的）
可以设角α对应的边为a，角β对应的边为b，90°的角对应的边为c
那么cosα=b/c,cosβ=a/c
sinα=a/c,sinβ=b/c
然后相减就为0
∴cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
应该就是这样了
我没图
有图就更好说
不过你可以自己画
希望我的回答让你满意

Answer 2

你好LZ,可以用向量证，也可以用如下方法
设α，β是锐角，作直径AB=1的圆O，C，D是位于AB两侧的圆周上的两点，连结CD，由托勒密定理有
CD•AB=BC•AD＋AC•BD．
(*)
(1)设∠CAB=α，∠DAB=β(如图1)，则AC=cosα，BC=sinαAD=cosβ，BD=sinβ，CD=sin(α＋β)，代入(*)得
sin(α＋β)=sinαcosβ＋cosαsinβ，(1)(2)设∠CAB=α，∠DBA=β，α≥β，AC=cosα，BC=sinα，AD=sinβ，BD=cosβ，CD=cos(α－β)，
代入(*)得
cos(α－β)=cosαcosβ＋sinαsinβ，(2)
由诱导公式易见(1)，(2)对任意角α，β都成立，若用－β替换(1)，(2)中的β，则可得
sin(α－β)=sinαcosβ－cosαsinβ，(3)
cos(α＋β)=cosαcosβ－sinαsinβ．(4)

Answer 3

设α，β是锐角，作直径ab=1的圆o，c，d是位于ab两侧的圆周上的两点，连结cd，由托勒密定理有

cd•ab=bc•ad＋ac•bd．
(*)

(1)设∠cab=α，∠dab=β(如图1)，则ac=cosα，bc=sinαad=cosβ，bd=sinβ，cd=sin(α＋β)，代入(*)得

sin(α＋β)=sinαcosβ＋cosαsinβ，(1)(2)设∠cab=α，∠dba=β，α≥β，ac=cosα，bc=sinα，ad=sinβ，bd=cosβ，cd=cos(α－β)，

代入(*)得
cos(α－β)=cosαcosβ＋sinαsinβ，(2)

由诱导公式易见(1)，(2)对任意角α，β都成立，若用－β替换(1)，(2)中的β，则可得
sin(α－β)=sinαcosβ－cosαsinβ，(3)
cos(α＋β)=cosαcosβ－sinαsinβ．(4)