Question

设0<c<1,a1=c/2,a(n+1)=c/2+an²/2,证明数列an收敛,并求其极限

Answer 1

(1)先证{a(n)}是递增数列，且有上界1+√c，可用归纳法证明，再由单调有界定理可得{a(n)}极限存在，记为a；然后对等式a(n+1)=√[c+a(n)]两边求极限可得a*a-a-c=0，解二次方程得到其中的正根a={1+√[1+4*c]}/2便是数列的极限。(由极限的保号性可得a>0，所以舍去负根)
(2)当n>2*c时，有0
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Answer 2

先由归纳法知，c/2
≤
an
<
c
，因此数列有界，
其次，由
a(n+1)-a(n)
=
1/2
*
[a(n)^2
-
a(n-1)^2]
及
a2>a1，
由归纳法可知数列递增，
因此数列必有极限，设极限为
a，两边取极限得
a
=
c/2
+
a^2/2，
解得
a=1-√(1-c)
（舍去
1+√(1-c)
）。