Question

已知函数fx是定义域为R的奇函数，且它的图像关于直线x=1对称

已知函数fx是定义域为R的奇函数，且它的图像关于直线x=1对称 1.求f〔0〕的值 2.证明:函数fx是周期函数 3.若fx=x〔0＜x≤1〕求x∈R时，函数fx的解析式

Answer 1

因为y=f(x)的图像关于直线x=1对称,所以所以f(x+1)=f(1-x)
又f(x)是定义在r上的奇函数，所以f(1-x)=-f(x-1)
即
f(x+1)=-f(x-1)
令x+1=t,即x=t-1,得
f(t)=-f(t-2)=f(2-t)
f(x)=f(2-x)
f(x)是周期函数

Answer 2

1.f（-0）=f（0）
得f（0）=0
2.f（x-1）=-f（1-x）=-f（1+x）得出f（x）=-f（x+2）从而得到f（x-2）=-f（x）=f（x+2）
故周期为4
3.由周期函数可以得到：（画图就好理解些）
当x∈（4k-3,4k-1）时
f（x）=4k-2-x
当x∈（4k+1,4k+3）时
f（x）=4k+x
（k∈Z）