Question

求证：根号2的根号2次方是无理数

Answer 1

格尔丰德-施奈德定理：如果α和β是代数数，其中α≠0且≠1，且β不是有理数，那么任何α^β = exp{βlog α}的值一定是超越数。
利用这个定理，可得根号2的根号2次方是超越数，从而根号2的根号2次方是无理数。

追问

谢谢！ 可是这是初中数学题，用这样复杂的定理好像有点超纲啊，能用初中知识解答么？

追答

初中的知识似乎不太可能解决。

Answer 2

根号2的根号2次=m/n
n乘以根号2的根号2次=m
n乘以根号2乘以根号2.........
n乘以根号2是有理数。后不为0
so. 原式是无理数
初中打法

Answer 3

根号2本来就是无理数了，再开根号，也是无理数

追问

要详细的解题思路，作为证明题来答，谢谢！

Answer 4

结论:根号2是无理数 ,无理数开根号得到的还是无理数
反证: 有理数(有限或循环)平方后一定是有限(或)的.即有理数 若根号2的根号2次方是有理数,则 根号2是有理数.结论不成立 反之 :根号2的根号2次方是无理数
反证就容易了 你感觉如何