Question

急！高手入！！求矩阵的n次幂的极限

1/2 1 1
0 1/3 1
0 0 1/5
这个三阶方阵的n次幂，当n趋向正无穷时的极限
详细解答过程，不仅要答案，急！！！

Answer 1

看到特征值是1/2,1/3,1/5就够了，显然A^n的极限就是0。
一种简单的方法是，A相似于对角阵D=diag{1/2,1/3,1/5}，也就是说A^n=PD^nP^{-1}，而D^n->0是显然的。
当然，如果你下次碰到不可对角化的矩阵直接这样做就不够了，不过方法是类似的，把对角阵改成Jordan标准型，并且要求次对角线的元素为0和足够小的ε（普通的Jordan标准型当中ε=1），然后取1-范数或者oo-范数，用范数的相容性证明||J^n||<=||J||^n ->0。

追问

你讲的我们线性代数没有学过呀，有没有简单的办法呀

追答

A=PDP^{-1}
其中
D=
1/2 0 0
0 1/3 0
0 0 1/5
P=
1 -6 130
0 1 -45
0 0 6
这个验证总会的吧
然后A^n=PD^nP^{-1}，D^n->0

Answer 2

这是三角矩阵啊！只要求对角线上元素的乘积就是矩阵的行列式的值，
即1/2X1/3X1/5=1/30
而n次幂则为（1/30）*n=1/30*n
lim(1/30)*n=0

追问

矩阵的极限是数还是矩阵?是数的话，你的做法才对，但好像定义是矩阵耶

追答

好像是的吧

Answer 3

1.先计算几次，找规律
2.这个应该能用拆项算，就是换成单位矩阵与某矩阵的和
你自己算吧，我不擅长打字，还是手机