Question

若f(x)，是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切x>0,y>o,满足f(x/y)=f(x)-f(y),若f(2)=1,

解不等式f(x+3)-f(1/x)<2

Answer 1

因为 对一切 x>0,y>0 ,满足 f(x/y)=f(x)-f(y)
那么 f(1)=f(1/1)=f(1)-f(1)=0
于是，f(x+3)-f(1/x)=f(x+3)-[f(1)-f(x)]=f(x+3)+f(x)<2
f(x)<2-f(x+3)
f(x)-f(2)<f(2)-f(x+3)
f（x/2)<f(2/x+3)
f(x/2)-f(2/x+3)<0
f[(x/2）/(2/x+3)]<0
f[(x²+3x)/4)<f(1)
由于f(x)在定义域内是增函数
所以 x²+3x<4
x²+3x-4<0
(x-1)(x+4)<0
-4<X<1
而 x>0
于是不等式 f(x+3)-f(1/x)<2 的解是
0<x<1

Answer 2

解：f（2/1)=f(2)-f(1)=1-f(1)=1所以f(1)=0 f(2)=f(4/2)=f(4)-f(2)=f(4）-1=1所以f(4)=2
f(x+3)-f(1/x)=f(x+3)+f(x)-f(1)=f(x+3)+f(x)<2=f(4)
由题意可得0<x<1