Question

在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，A＜B＜C，B=60°，且...

在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，A＜B＜C，B=60°，且满足√(1+cos2A)(1+cos2C)=12(√3-1)． 求： （1）A、B、C的大小； （2）a+√2bc的值．

Answer 1

解：（1）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，A＜B＜C，B=60°，
故有A+C=2B=120°，故三内角成等差数列．
由√(1+cos2A)(1+cos2C)=12(√3-1) 可得√2cos2A•2cos2C=√3-12，即
2cosAcosC=√3-12．
故有cosA+C2+cosC-A2=√3-12，解得cos（-A+C）=√32，∴C-A=30°，∴A=45°，C=75°．
综上可得，A=45°，B=60°，C=75°．
（2）由于sinA=sin45°=√22，sinB=sin60°=√32，sinC=sin（45°+30°）
=√22×√32+√22×12=√6+√24，
∴a+√2bc=sinA+√2sinBsinC=√22+√2×√32√6+√24=2．