Question

设0<α<β<π/2,证明：存在θ∈(α,β)，使得(sinα-sinβ)/(cosβ-cosα)=cotθ

Answer 1

根据cauchy中值定理，
存在θ∈(α,β)，使得(sinα-sinβ)/(cosβ-cosα)=-(sinα-sinβ)/(cosα-cosβ)=-(sinx)'/(cosx)'，在x=θ处的值
=cosθ/sinθ=cotθ

Answer 2

根据和差化积公式可知：
(sinα-sinβ)/(cosβ-cosα)
=2cos((α+β)/2)sin((α-β)/2)/[-2sin((β+α)/2)sin((β-α)/2)]
=2cos((α+β)/2)sin((α-β)/2)/[2sin((β+α)/2)sin((α-β)/2)]
=-cos((α+β)/2) /sin((α+β)/2)
=cot((α+β)/2)

因为0<α<β<π/2,所以α< (α+β)/2<β
所以存在θ=(α+β)/2∈(α,β)，
使得(sinα-sinβ)/(cosβ-cosα)=cotθ

Answer 3

cotθ=2cos(α+β)/2sin(α-β)/2/[2sin(α+β)/2sin(α-β)/2]
=cot[(α+β)/2]
因0<α<β<π/2
所以θ=2kπ+(α+β)/2
当k=0时
θ=(α+β)/2
且(α+β)/2∈(α,β)，
得证