证明多项式f(x)=x^3+3x+1在有理数域上不可约
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一个3次多项式若在有理数域上可约则必含有有理的1次因子.
换句话说必须有有理根.
假设f(x)有有理根p/q, 其中p,q为互质的整数.
f(x)作为整系数多项式, 可以证明p整除常数项, 而q整除首项系数.
对f(x) = x^3+3x+1来说, 只有p/q = 1或-1.
但容易验证1和-1都不是f(x)的根, 因此f(x)没有有理根, 故在有理数域上不可约.
注意, 对于4次及以上的有理系数多项式,
没有有理根只是在有理数域上不可约的必要非充分条件.
咨询记录 · 回答于2021-11-02
证明多项式f(x)=x^3+3x+1在有理数域上不可约
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证明多项式f(x)=x^3+3x+1在有理数域上不可约
一个3次多项式若在有理数域上可约则必含有有理的1次因子.换句话说必须有有灶侍理根.假设f(x)有有理根p/q, 其中p,q为互质的整数.f(x)作为整系数多项式, 可以证明p整除常数项, 而q整除首项系数.对f(x) = x^3+3x+1来说, 只有p/q = 1或-1.但容易验证1和-1都不是f(x)的根, 因此毕槐f(x)没有有理根, 故在有理数域上不可约.注隐数吵意, 对于4次及以上的有理系数多项式,没有有理根只是在有理数域上不可约的必要非充分条件.
谢谢
不客气，亲[比心]
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