Question

如图，AB是半圆的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD

1.判断直线PD是否为圆O的切线，并说明理由
2.如果∠BDE=60°，PD=根号3，求PA的长

Answer 1

（1）连接OD，OD=OB , ∴∠ODB=∠OBD
∵AD、BD是半圆的弦，∴∠ADB=90°
∵∠PDA=∠PBD， ∴∠PDA=∠ODB
∴∠ADO+∠ODB=∠PDA+∠ADO=90°
∴∠PDO=90°即直线PD为圆O的切线。
（2）∵∠ADP+∠ADB+∠BDE=180°
且∠ADB=90° ，∠BDE=60° ，∴∠PDA=30°
又∵∠PDA=∠PBD=30° ，∴∠PAB=60°
∵AO=DO , ∴∠ADO=∠DAO=∠AOD=60°
∴∠APD=∠ADP=30° ，∴AD=PA=二分之一PO
∵PD=根号3 ，∴PO=2
∴PA=1

Answer 2

（1）连接OD
∵OD=OB
∴∠ODB=∠OBD
∵∠PDA=∠PBD
∴∠PDA=∠ODB
∴∠PDA+∠ADO=∠ADO+∠ODB
即∠PDO=∠ADB
∵AB为直径
∴∠ADB=90°
∴∠PDO=90°
即直线PD为圆O的切线
（2）
∵∠ADB=90°∠BDE=60°
∴∠PDA=180°-90°-60°=30°
∴∠PBD=∠PDA=30°
∴∠DAB=60°
∵OA=OD
∴△OAD为等腰三角形
∴∠ADO=∠DAB=60°
∵∠PDO=90°
∴∠ADP=∠PDO-∠ADO=30°
∴∠APD=∠DAB-∠ADP=30°
∵PD=根号3
∴OD=根号3/2
∴PO²=PD²+OD²
解得PO=2
∴PA=1

Answer 3

分析：（1）要证是直线PD是为⊙O的切线，需证∠PDO=90°．因为AB为直径，所以∠ADO+∠ODB=90°，由∠PDA=∠PBD=∠ODB可得∠ODA+∠PDA=90°，即∠PDO=90°．
（2）根据已知可证△AOD为等边三角形，∠P=30°．在Rt△POD中运用三角函数可求解．解答：解：（1）PD是⊙O的切线．理由如下：
∵AB为直径，
∴∠ADO+∠ODB=90°．
∵∠PDA=∠PBD=∠ODB，
∴∠ODA+∠PDA=90°．即∠PDO=90°．
∴PD是⊙O的切线．

（2）∵∠BDE=60°，∠ADB=90°，
∴∠PDA=180°-90°-60°=30°，
又PD为半圆的切线，所以∠PDO=90°，
∴∠ADO=60°，又OA=OD，
∴△ADO为等边三角形，∠AOD=60°．
在Rt△POD中，PD=3，
∴OD=1，OP=2，
PA=PO-OA=2-1=1．点评：此题考查了切线的判定及三角函数的有关计算等知识点，难度中等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．