Question

初二几何题：如图，已知P是等边三角形ABC的BC边上的任意一点，过P分别作AB、AC的垂线PE和PD，垂足为……

如图，已知P是等边三角形ABC的BC边上的任意一点，过P分别作AB、AC的垂线PE和PD，垂足为E、D。猜想三角形AED的周长与四边形EBCD的周长有何关系，并证明你的猜想。

Answer 1

四边形EBCD的周长—三角形AED的周长=等边三角形的边长

证明 过C点做CN⊥AB，交AB与N；再过C做CF⊥EF，交EF与F 如图 

由此可得四边形CMEN是矩形。而因为三角形ABC是等边三角形，所以N点是AB得中点，即AN=NB=NE+EB  而CF//AB,所以∠FCP=∠EBP=60'  由此证得△CFP与△CPD全等

得CF=CD=EN. 所以BE+EN=BE+CD 所以 四边形周长=BE+BC+CD+ED   三角形周长=AN+NE+ED+DA   即 四边形周长-三角形周长= (BE+BC+CD+ED)-(AN+NE+ED+DA)

因为BE+AE=边长,同理AD+DC=边长 所以  四边形周长-三角形周长=等边三角形的边长

Answer 2

证明：因为等边三角形ABC中，PE⊥AB于E,
所以∠EPB=30°，
所以BE=BP/2,
同理CD=PC/2,
所以BE+CD=BP/2+PC/2=(BP+PC)/2=BC/2,
所以AE+AD
=(AB-BE)+(AC-AD)
=AB+AC-(BE+AD)
=AB+aC-BC/2
=3AB/2,
所以三角形AED的周长=AE+AD+DE=3AB/2+DE
四边形EBCD的周长=BE+BC+CD+DE=(BE+CD)+BC+DE=3AB/2+DE
所以三角形AED的周长与四边形EBCD的周长相等

Answer 3

关系：相等。
因为：正三角形
所以：∠B=∠C=∠A=60°.
且：∠PEB=90°.
所以：BP=2BE
同理：PC=2DC.
所以：2(EB+DC)=BC
所以：EB-BC-CD=1.5BC=0.5(三角形ABC周长)
且:EB=BE
所以可知：AED周长=EBCD周长

Answer 4

过P作PM∥AC，PN∥AB∴∠PMB=∠A=∠B，∠PNC=∠A=∠C∴PM=PB，PN=PC∵PE⊥AB，PD⊥AC∴BE=EM，CD=DN∴四边形AMPN为平行四边形，∴AN=PM，AM=PN∴三角形AED的周长=AE+ED+AD=AM+ME+ED+DN+AN=PC+BE+ED+DC+PB=BE+BC+CD+ED=四边形EBCD的周长

Answer 5

证明：因为PE垂直于AB,PD垂直于AC.
所以∠EPB=30°，
所以BE=BP/2,
同理CD=PC/2,
所以BE+CD=BP/2+PC/2=(BP+PC)/2=BC/2,
所以AE+AD
=(AB-BE)+(AC-CD)
=AB+AC-(BE+CD)
=AB+AC-BC/2
=3AB/2,
所以三角形AED的周长=AE+AD+DE=3AB/2+DE
四边形EBCD的周长=BE+BC+CD+DE=(BE+CD)+BC+DE=3AB/2+DE
所以三角形AED的周长与四边形EBCD的周长相等