如何证明|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|

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士妙婧RF
2011-10-30 · TA获得超过7.8万个赞
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|a|={a,(a>0), a,(a=0), ﹣a,(a<0),}   
因此,有   
﹣|a|≤a≤|a| ......①   
﹣|b|≤b≤|b| ......②     
①,②相加得﹣﹙|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|   
即 |a+b|≤|a|+|b| ......③   
易得,当且仅当ab≥0时,③式等号成立。
由③可得|a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b|......④   
即 |a|-|b|≤|a+b| ......⑤   
对④式,由上面知,当且仅当(a+b)(-b)≥0时等号成立,所以⑤式等号成立的充要条件是b(a+b)≤0。   
综合③,⑤
|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|
shsycxj
2011-10-30 · TA获得超过1.2万个赞
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∵(|a|+|b|)²-(|a-b|)²=a²+b²+2|ab|-a²-b²-2ab=2|ab|-2ab
∵|ab|≥ab ∴(|a|+|b|)²-(|a-b|)²≥0 即 (|a|+|b|)²≥(|a-b|)²
∵|a|+|b|≥0 |a-b|≥0 ∴|a|+|b|≥|a-b|

∵(|a-b|)²-(|a|-|b|)²=a²+b²-2ab-a²-b²+2|ab|=2|ab|-2ab
∵|ab|≥ab ∴(|a-b|)²-(|a|-|b|)²≥0 即 (|a-b|)²≥(|a|-|b|)²
∵|a-b|≥0 ∴ |a-b|≥|a|-|b|

∴|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|
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付百科
2011-11-03
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三角形证,三边关系
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