Question

y=2^x/2^x+1的反函数

Answer 1

y=2^x/2^x+1的反函数为y=log2[x/(1-x)]，(0<x<1)。一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x=g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f-1(x)。

证明过程

y=2ˣ/(2ˣ+1)=1-1/(2ˣ+1)

2ˣ>0，2ˣ+1>0，0<1/(2ˣ+1)<1，0<1-1/(2ˣ+1)<1

0<y<1

2ˣ=y/(1-y)

x=log2[y/(1-y)]

将x、y互换，得函数的反函数为y=log2[x/(1-x)]，(0<x<1)

反函数

一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x=g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f-1(x)。反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。

一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）的反函数为x=f(y)或者y=f-1（x）。存在反函数(默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。注意：上标"−1"指的是函数幂，但不是指数幂。