一阶线性微分方程y'+P(x)y=Q(x)的通解公式是什么？
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解：先算对应的齐次方程的解。
y'+P(x)y=0
y'/y=-P(x)
lny=-∫P(x)dx+C
y=ke^(-∫P(x)dx)
下面用常数变易法求解原方程的解。
设k为u(x)
y=u(x)e^(-∫P(x)dx)
y'=u'(x)e^(-∫P(x)dx)-u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx)
代入得：
Q(x)
=u'(x)e^(-∫P(x)dx)-u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx)+u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx)
u(x)=∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C
y=e^(-∫P(x)dx)(∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C)
咨询记录 · 回答于2021-12-11
一阶线性微分方程y'+P(x)y=Q(x)的通解公式是什么？
解：先算对应的齐次方程的解。y'+P(x)y=0y'/y=-P(x)lny=-∫P(x)dx+Cy=ke^(-∫P(x)dx)下面用常数变易法求解原方程的解。设k为u(x)y=u(x)e^(-∫P(x)dx)y'=u'(x)e^(-∫P(x)dx)-u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx)代入得：Q(x)=u'(x)e^(-∫P(x)dx)-u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx)+u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx)u(x)=∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+Cy=e^(-∫P(x)dx)(∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C)
解：先算对应的齐次方程的解。y'+P(x)y=0y'/y=-P(x)lny=-∫P(x)dx+Cy=ke^(-∫P(x)dx)下面用常数变易法求解原方程的解。设k为u(x)y=u(x)e^(-∫P(x)dx)y'=u'(x)e^(-∫P(x)dx)-u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx)代入得：Q(x)=u'(x)e^(-∫P(x)dx)-u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx)+u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx)u(x)=∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+Cy=e^(-∫P(x)dx)(∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C)
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