Question

若对于任意实数a,关于x的方程x^2-2ax-a+2b=0都有实数根，则实数b的取值范围是？

【我不是来要求一个步骤的，因为网上的解答很多，分为两个版本，我对两个版本的解答都有疑问，希望各位高手能认真看看我的问题，解答我的疑问】
【网上的回答大致分为两种版本，我对两种版本都抱有疑惑！】
【希望各位能认真看看下面的疑问，解答我的疑惑谢谢！！！】
【第一个版本的解答：】：
解：∵关于x的方程x^2-2ax-a+2b=0都有实数根，
∴△=4a^2-4（-a+2b）=4a^2+4a-8b=（2a+1）2-1-8b，
对任何实数a，有△=（2a+1)^2-1-8b≥0，
所以-1-8b≥0，
解得b≤-1/8 ．
⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙(+﹏+)~
【疑问】【我对于这个版本的疑惑在于为什么由（2a+1)^2-1-8b≥0，就可以得到-1-8b≥0？假设前面的（2a+1)^2=16，后面的-1-8b=-7，不一样可以满足（2a+1)^2-1-8b≥0吗？？不知道你们懂不懂我的疑惑，希望能够得到解答！！！！！！】
------------------疑问的分界线！------------------------------------------
【第二个版本的解答是这样的】：
(-2a)^2-4(-a+2b)≥0
△=4a^2+4a-8b≥0
a^2+a-2b≥0恒成立
则△′=1^2-4*(-2b)<=0
1+8b<=0
b<=-1/8
【疑问】
【这个解答我不明白的是，为什么a^2+a-2b≥0恒成立，则△′=1^2-4*(-2b)<=0？????？？？
这一步用的是什么原理？？？？？】

【等待解答！！！！！！！！><拜托各位大神！！！！！！！！！！！！】

Answer 1

实际上，两个版本的解答都是正确的，出现问题的关键在于你对“恒成立”的概念理解的有些片面。解法一中：
解：∵关于x的方程x^2-2ax-a+2b=0都有实数根，
∴△=4a^2-4（-a+2b）=4a^2+4a-8b=（2a+1）2-1-8b，
对任何实数a，有△=（2a+1)^2-1-8b≥0，
所以-1-8b≥0，
解得b≤-1/8 ．
对任何实数a,△=（2a+1)^2-1-8b≥0要恒成立，而你例举的“（2a+1)^2=16，后面的-1-8b=-7”这种情况，是a=3/2，b=-7/8时的特例，比如，当a=0,b=-7/8就不成立了。恒成立的意思是，a取任意实数，b=-7/8都要有△>0才行。
解法二：
(-2a)^2-4(-a+2b)≥0
△=4a^2+4a-8b≥0
a^2+a-2b≥0恒成立
则△′=1^2-4*(-2b)<=0
1+8b<=0
b<=-1/8。
这里，把a^2+a-2b≥0看成关于a的一元二次不等式，二次项系数为1>0,开口向上，要使
a^2+a-2b≥0恒成立，抛物线只能在x轴的上方（或与x轴相切），所以△'《0

Answer 2

解1
为什麼由（2a+1)^2-1-8b≥0，就可以得到-1-8b≥0？
因为任何数的平方大於或等於0的
又因为题目中有 "若对于任意实数a"都是成立的,当此时a=-1/2时,也是成立的
即有-1-8b≥0
解2
要使a^2+a-2b≥0恒成立
可以假设y=a^2+a-2b 当△<0时,此函数无实根,即说明与x轴无交点
即开口向上的抛物线都在x轴之上,所以恒大於0
因为要满足其等於0时也恒成立,故△=0
此时图象与x轴有唯一的交点,即函数要麼在x轴的上方,即y>0,要麼在x轴上,即y=0
综合以上情况,得出△小於或等於0

以上说明不知对你是否能有所帮助? 如不明白,可以指出来.

Answer 3

分太少！！！小弟弟

疑问一：（2a+1)^2-1-8b≥0等价：（2a+1)^2≥1+8b 所以1+8B要恒小于（2a+1)^2，也就是说要小于（2a+1)^2的最小值，他的最小值是0所以1+8B就是小于等于0

疑问2：a^2+a-2b≥0恒成立，也这个不等式看做一个关于A的函数，他要恒大于等于0，也就是说这个关于A的函数(A属于R）无解或者只有一个解，他的图像在X轴上方，所以△′=1^2-4*(-2b)<=0

你应该是 文科生吧，

Answer 4

对任何实数a，有△=（2a+1)^2-1-8b≥0，
所以当2a+1=0时有-1-8b≥0。

关于a的不等式a^2+a-2b≥0恒成立
则△′=1^2-4*(-2b)<=0

Answer 5

第1个问题 因为-8b-1取的值必须满足 任意实数a 你所取的-7只能满足一部分a的值
第2个问题 把a^2+a-2b≥0看成关于a的一元二次不等式，二次项系数为1>0,开口向上，要使
a^2+a-2b≥0恒成立，抛物线只能在x轴的上方（或与x轴相切），所以△'≤0