Question

函数Y=f(x)的定义域为(0,+无穷大),且对于一切X>0，y>0，都有F(y分之X)=f(x)-f(y),当X>1时，

函数Y=f(x)的定义域为(0,+无穷大),且对于一切X>0，y>0，都有F(y分之X)=f(x)-f(y),当X>1时，f(x)>0. (1)求F(1)的值(2)判断F(x)的单调性并证明

Answer 1

(1)令x＝y＝1得f(1)＝f(1)－f(1)＝0
(2)函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增．证明如下：
设0＜x1＜x2，则(x2)/(x1)＞1. ∵当X>1时，f(x)＞0. ∴f[(x2)/(x1)])＞0.
又对于一切X＞0，y＞0，都有F(y分之X)＝f(x)－f(y)
∴f[(x2)/(x1)])＝f(x2)－f(x1)＞0
∴f(x2)＞f(x1)
∴函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增.

Answer 2

1）
取x=1，y=1
得f（1）=f(1)-f(1)=0
2)
对于任意x1>x2>0
令a=x1/x2,则a>1
f(x1/x2)=f(a)>0
f(x1/x2)=f(x1)-f(x2)>0
故f（x）为增函数。

Answer 3

解：因为f(x/y)=f(x)-f(y),令xy，有f(x/x)=f(1)=f(x)-f(x)=0,所以f(1)=0;
2.因为当X>1时，f(x)>0，那么令0＜x＜1，则1/x＞1，所以
f（1/x）=f（1）-f（x）=0-f（x）＞0，解得f（x）＜0
设x1＞x2＞0，所以x1/x2＞1，所以
f（x1）-f（x2)=f（x1/x2)＞0，所以f（x1)＞f（x2)，所以函数在（0，+无穷大）时是增函数