Question

已知函数f(x)=4^x-2^x+1+3

1.当f(x)=11时,求x的值
2.当x[-2,1]时,求f(x)的最大值和最小值

Answer 1

（1）当f(x)=11时
f(x)=4^x-2^(x+1)+3=(2^x)^2-2*2^x+3
∴f(x)=11，即(2^x)^2-2^2x+3=11
(2^x)^2 -2*2^x-8=0
[2^x-4]*[2^x+2]=0
∵2^x＞0
∴2^x=4=2^2
∴x=2

（2）当X属于[-2,1]时
由（1）得：f(x)=(2^x)^2-2*2^x+3
令2^x=t（t＞0），∵x∈[-2,1]
∴t∈[1/4,2]
且：f(t)=t^2-2t+3
对称轴为t=1
∴在t=1时，f(t)有最小值=f(1)=1-2+3=2
而，f(1/4)=(1/4)^2-2*(1/4)+3=41/16
f(2)=2^2-2*2+3=3
∴f(x)的最大值为3，最小值为2

Answer 2

f(x)=(2^x)²-2*2^x+3
=(2^x-1)²+3
f(11)=(2^11-1)+3
当x∈(-∞,0] 时函数单调减
当x∈[0,+∞)时 函数单调增 所以f(-2)=57/16 f(1)=4 所以f(1)为最大值=1+3=4
f(0)为最小值=3

Answer 3

设2^x=t,则原函数化为t^2-t+4,则就是二次函数了，