Question

已知，如图，在三角形ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD是∠ABC的平分线，求证：AD+BD=BC

Answer 1

证明：在线段BC上取点E、F，分别使得BE=AB,BF=BD
则在等腰三角形中，∠ABC=100°,∠ABC=∠ACB=40°
又∠ABC的平分线是BD，则∠ABD=∠DBC=20°
因为BD是公共边，且BE=AB
所以△ABD≌△EBD (SAS)
则AD=DE (1)
且∠BED=∠BAD=100°
所以∠DEF=180°-∠BED=80°
在△BDF中，BD=BF,∠DBF=20°
则∠BDF=∠BFD=80°
所以∠BFD＝∠DEF
则DF=DE (2)
又在△DFC中，外角∠BFD=80°=∠BCD+∠CDF，且∠BCD＝40°
则∠BCD＝∠CDF＝40°
可得DF=FC (3)
所以由(1)(2)(3)式可知FC=AD
又BF=BD
所以BD+AD=BF+FC=BC
命题得证

Answer 2

证明： （方法一）过D作∠CDE=∠BCA，交BC于E。所以ΔCED为等腰三角形，即得:CE=DE。
因为∠A=100°，所以∠ECD=∠EDC=40°，故∠BED=80°，
故A,C,E,D四点共圆。
而∠ABD=∠EBD=20°，故AD=DE，∠BDE=80°.
所以ΔBDE为等腰三角形,即有BD=CE.
从而AD=DE=CE。
因此 BD+AD=BE+DE=BE+CE=BC。证毕。

证明：（方法二）在BC上截取BE=AB ，容易证明△ABD≌△EBD
==>∠DEB=∠A=100,∠BDE=∠BDA=60,AD=DE
在CE线段上取点F,使DF=DE
==>∠DFE=∠DEF=80° ，==>∠EDF=20°
==>∠FDB=80°=∠DFB==> BD=BF
∠CDF=180-∠FDB-∠BDA=180°-80°-60°=40°=∠C=40°
==>∠C=∠CDF==> CF=DF=DE=AD
==>BC=CF+BF=BD+AD.

记得看一下角能不能对的上~~~

Answer 3

楼上正解