Question

导数和拉格朗日中值定理结合推导过程中的困惑？

Answer 1

简单来说，“x趋向于x0的时候，存在ξ且ξ趋向于x0”，这句话很直观，是对的，但是在翻译为数学语言时不对。

“趋向于”并不等同于“取极限”。“取极限”要求“趋向于”的任意性，这一点很容易忽略，也是关于极限运算的各种错误的主要来源。

“x趋向于x0”，我们可以任意假设x的趋近方式，因此这里我们可以放心地使用极限符号lim。但是，“存在ξ且ξ趋向于x0”，这里ξ的趋近方式并不能保证任意性（很显然的，它依赖于x的选取），因此在这里我们不能写下对于ξ的极限。

拉格朗日定理证明有限导数连续的前提是导函数在该点的极限存在，此时极限等于该点导数值。