Question

线性代数证明 谢谢

Let A and B be nxn matrices such that AB = 0. Prove that rankA+rankB <= n.

A和B都是nXn矩阵 并且AB=0 证明rankA+rankB小于等于n

Answer 1

对AX=0这个方程来说，假若A的秩为M
则，X的线性无关向量个数为N-M
又B的所有列向量都为AX=0的解
故B的所有列向量满足，方程的解的结构，即列向量的线性无关个数最大为N-M
而B的列向量的秩，即为B的秩，
故R（B）小于等于N-M
又R（A）=M
综上得最后结果
楼上打字真快 。。。。。真 我那个催

Answer 2

考虑两个线性空间：
(1) B的列空间，即B的各列向量张成的线性空间。它的维数即是B的列秩，等于B的秩，即r(B)。
(2) Ax=0的解空间，即Ax=0的所有解组成的线性空间。由基本定理，它的维数=n-r(A)。
现在有AB=0，所以B的各列向量均是Ax=0的解。这说明(1)是(2)的子空间，所以(1)的维数<=(2)的维数。得r(B)<=n-r(A)，即r(A)+r(B)<=n。