Question

若λ是矩阵A的特征值,则λ^k是矩阵A^k的一个特征值,其中k为任意一个自然数

Answer 1

λ是矩阵A的特征值,并取λ的一个特征向量,记为x
则
(A^k)x=A^(k-1)(Ax)=A^(k-1)(λx)=λA^(k-1)x=λA^(k-2)(Ax)=...=(λ^k)x
从而λ^k是A的一个特征值,并且有特征向量x