Question

1+2+2^2+...+2^(n-1)=2^n-1 数学归纳法

要怎麼做呢 用数学归纳法证明

Answer 1

证明：当n=1时，左边=1=右边=2^1-1=1成立
当n=2时，左边=1+2=3，右边=2^2-1=3.左边=右边成立
当n=k时，左边=1+2+……+2^(k-1)=(1-2^k)/(1-2)=2^k-1,右边=2^k-1.左边=右边
所以n=k+1时也成立
所以1+2+2^2+...+2^(n-1)=2^n-1 。

Answer 2

设
当n=1的时候
1=2^1-1=1，等式成立
假设x=k的时候
1+2+2^2+...+2^(k-1)=2^k-1 等式成立
当n=k+1的时候
1+2+2^2+...+2^(k-1)+2^k=2^k-1 +2^k=2^(k+1)-1，等式也成立
所以假设成立
所以1+2+2^2+...+2^(n-1)=2^n-1
如有不明白，可以追问

追问

1+2+2^2+...+2^(k-1)+2^k=2^k-1 +2^k=2^(k+1)-1
右邊是等於2^(k+1)-1嗎？ 不是把

追答

2^k-1 +2^k=2^k×2-1=2^(k+1)-1
如有不明白，可以追问

Answer 3

设1+2+2^2+...+2^(n-1)=s
则2s=2+2^2+...+2^(n-1)+2^n
则2s-s=2^n-1=s
所以1+2+2^2+...+2^(n-1)=2^n-1

Answer 4

当n=1是明显成立
设当n=k时1+2+2^2+...+2^(k-1)=2^k-1成立
则当n=k+1时1+2+2^2+...+2^(k-1）+2^（k+1-1）=2^k-1+2^k=2*2^k-1=2^(k+1)-1也成立
所以1+2+2^2+...+2^(n-1)=2^n-1成立