Question

an+1=an+2n+1,a1=1,求an

Answer 1

由已知：a(n+1) － an=2n + 1
则an － a(n-1)=2(n-1) + 1
a(n-1) － a(n-2)=2(n-2) + 1
.......
a3 － a2=2×2 + 1
a2 － a1=2×1 + 1
等号两边分别相加：a(n+1) － a1=2n+1 + 2(n-1)+1 + 2(n-2)+1 + ...... + 2×2+1 + 2×1+1
注：等号左边正负相抵，最后剩下a(n+1)－a1
等号右边是首项为3，公差为2的等差数列求和：Sn=[n(3 + 2n + 1)]/2=n² + 2n
将a1=1代入：a(n+1) － 1=n² + 2n
a(n+1)=n² + 2n + 1=(n+1)²
则an=n²，(n∈N+)

Answer 2

解：an+1＝an＋2n+1，则
an+1一an＝2n＋1；
a2-a1＝2×1＋1
a3-a2＝2×2＋1
a4-a3＝2×3＋1
…
an-an-1＝2×（n-1）＋1，将上述式相加得an-a1＝2×[1+2+3+…+（n-1）]＋1×（n-1），
an＝n^2

Answer 3

a(n+1)=an+2n+1
a(n+1) -an = 2n+1
an -a(n-1) = 2n-1
an - a1 = 3+5+7+....+(2n-1)
an -1 = (n+1)(n-1)
an = n^2