Question

求曲线X^(2/3)在-1到8之间的弧长，要有过程

Answer 1

弧长s=∫√(1+y'²)*dx
y=X^(2/3) y'=2/3*X^(-1/3) y'²=4/9*X^(-2/3)
因导数在0处不存在，分两段
∴弧长s=∫[-1,8]√(1+y'²)*dx=∫[-1,0)√(1+y'²)*dx+∫(0,8]√(1+y'²)*dx=s1+s2
令x=t^3，则t=x^(1/3)，dx=3t^2dt，y'²=4/9*X^(-2/3)=4/9*t^(-2)
对于每一段，均有
s=∫√(1+y'²)*dx
=∫√(1+4/9*t^(-2))*3t^2dt
=∫1/|3t|*√(9t^2+4)*3t^2dt
=±∫√(9t^2+4)*tdt (当t>0时取+，t<0时取-)
=±1/18∫√(9t^2+4)d(9t^2+4)
=±1/18*(9t^2+4)^(3/2)/(3/2)+C
=±1/27*(9t^2+4)^(3/2)+C
=±(t^2+4/9)^(3/2)+C
∴当-1≤x<0时，有-1≤t<0
∴s1=[-(t^2+4/9)^(3/2)] t∈[-1,0)
=-(4/9)^(3/2)+(1+4/9)^(3/2)
∴当0<x≤8时，有0<t≤2
∴s2=[(t^2+4/9)^(3/2)] t∈(0,2]
=(2^2+4/9)^(3/2)-(4/9)^(3/2)
∴s=s1+s2
=-(4/9)^(3/2)+(1+4/9)^(3/2)+(2^2+4/9)^(3/2)-(4/9)^(3/2)
=[13^(3/2)+40^(3/2)-16]/3^3
≈10.51

积分有点难，最麻烦的倒是后面算数值
希望对你有帮助

Answer 2

应用定积分 求弧长的公式 自己做就是了 简单得很

追问

可是有一个导数不存在的点怎么用公式啊？

追答

分段呀 你定义域分成两段计算即可

追问

就是这样做不出来才问的啊。。。你试着做一下吧