Question

关于矩阵的计算。

n阶非零矩阵A，它的转置和它的伴随矩阵相等的情况下，怎么证明它可逆。
我推出来A等于其转置的转置，然后对转置的转置使用公式，换成|A|的n-2次方乘以A，然后得到A=|A|的n-2次方乘以A,这样根据A非零矩阵，就得到|A|不等于0了。
但是我同时还得到了|A|=1.
请问我这种求法正确吗。是不是能得出|A|=1.

Answer 1

首先，你的做法对于n=2是失效的，所以n=2需要另外证明。
再有就是x^{n-2}=1不足以推出x=1，这个总知道的吧，换成|A|怎么就忽略了呢。

有一种相对深刻的方法是考察伴随阵的秩，如果A不满秩的话伴随阵的秩<=1，但A和A^T的秩肯定是相同的，所以n>2的时候非零的A必须满秩。同样，n=2需要另外处理，不过这个很容易，直接把伴随阵写出来就行了。

楼上的回答有多处错误，我就不一一指出了。

Answer 2

这么证明看看能否接受.

证明: 由已知A≠0, 可设 aij≠0.
因为 A^T=A*
所以 AA^T=AA*=|A|E.
所以等式两边第i行第i列元素相等
即有 ai1^2+ai2^2+...+aij^2+...+ain^2 = |A|.
再由 aij≠0, 所以有 |A|≠0. (*)
所以A可逆.
(*)注: 这里需要A是实矩阵, 即A中元素都是实数.

Answer 3

对于实矩阵满足你的所有推论。首先回答第二问，只要矩阵满足转置等于伴随阵，则该矩阵行列式的值必为1。行列式的值必为1的矩阵自然可逆。
根据酉矩阵的判定条件就可以证明：若一个矩阵的共轭转置乘以它本身等于单位阵，则该矩阵是一个酉矩阵。由伴随矩阵的性质我们知道任意一个矩阵的伴随矩阵乘以其本身等于单位阵，这个矩阵又有转置等于伴随阵，所以一定可以得到该矩阵的转置乘以其本身等于单位阵。那么它是一个酉矩阵。
再根据酉矩阵的性质：任意的酉矩阵行列式的值都是1。行列式的值都是1的一类矩阵当然可逆。
在实数矩阵范畴下，你的推导完全没有问题，都是正确的。但是这个结论在复数域下需要把转置换为共轭转置才能成立。

Answer 4

证明：因为AA*=|A|E 且 A*=AT
所以AAT=|A|E
假设|A|=0，则有：AAT=0
设A的行向量为ai(i=1~n)
于是：aiait=0(i=1~n)；从而ai=0，也就是A=0
与条件违背，故而：|A|≠0，即A可逆。

如果计算过程正确，步骤无误，算出了|A|的值不等于0，也是可以说A可逆的，这个题目是定性分析，而非定量分析。你步骤有一步是|A|^(n-2)=1，这步本身就说明了|A|≠0，不用多纠结|A|到底是多少；至于此方法造成的n=2的后遗症，单把n=2拿出来特别说明即可。