Question

初二三角形

角A等于60度，BE垂直于AC，CF垂直于AB,D为BC中点，求证三角形DEF为等边三角形

Answer 1

证明：为了方便起见，设∠ABE=∠1，∠CBE=∠2，......   见图。

因为：D是直角△EBC和直角△FBC的斜边中点

所以：ED=(1/2)BC，FD=(1/2)BC

所以：ED=FD

所以：△DEF是等腰三角形

因为：∠A=60°

所以：∠1=∠3=30°

所以：∠2+∠4=180°-60°-30°-30°=60°

所以：∠1+∠2+∠3+∠4=120°

所以：∠DFB=∠DBF=∠1+∠2，∠DCE=∠DEC=∠3+∠4

所以：∠5=180°-2（∠1+∠2），∠6=180°-2（∠3+∠4）

所以：∠5+∠6=360°-2（∠1+∠2+∠3+∠4）=360°-2*120°=120°

所以：∠7=180°-120°=60°

所以：△EFD是等边三角形

Answer 2

解答：
∵∠A=60°，∴∠ABE=30°，
∴AE=½AB，同理：AF=½AC，
考察△AEF与△ABC，
∠A是公共角，∴易证：△AEF∽△ABC，
∴AE∶AB=EF∶BC=1∶2，
∴EF=½BC，
又在直角△BFC中，
D是斜边BC的中点，∴FD=½BC，
同理：ED=½BC，
∴EF=FD=ED=½BC，
∴△EFD是等边△。

Answer 3

在直角三角形BFC中，由于D是中点，所以BD=DC=FD，同理得BD=DC=ED，所以三角形BDF，三角形EDC，三角形FED均为等腰三角形。因为角A为60度，所以 角ABC+角ACB=120度。角FDE=180度-（角FDB+角EDC）=180度-[（180度-2角ABC）+（180度-2角acb）]=180度-360度+2*120度=60度，又由上得出三角形FDE是等腰三角形，所以三角形FDE为等边三角形。