Question

求极限 lim[x→∞].ln(1+1/x)/arccotx 题目没打错 答案是1 请教高手怎么算的..。

在洛必达法则这一节的

Answer 1

解析看图

追问

x→+∞时 不是arccotx→-∞吗？ 不是要分子分母同时都→0或∞才能用洛必达法则吗？

Answer 2

上下在x→∞同时趋向于0，满足洛比达法则条件，对分号上下同时求导有：
原式=lim[x→∞](-(1/x^2)/(1+1/x))/(-(1/x^2+1))=lim[x→∞](x^2+1)/(x^2+x)=1

Answer 3

洛必达法则: 设
f(x)=ln(1+1/x), g(x)=arccotx,
则
f(∞)= 0, g(∞)=0 f'(∞)=1 g'(∞)=1
所以可以使用洛必达法则,
lim[x→∞].ln(1+1/x)/arccotx = lim[x→∞]. [f'(x)=1/g'(x)}=1/1=1

Answer 4

(arcothx)'=1/(x^2-1) (|x|>1) 先写上这个后面好写
lim[x→∞].ln(1+1/x)/arccotx
=lim (x→∞) -1/x / arccotx(ln(1-x)和x是等价无穷小)
=lim 1/x^2 / 1/(x^2-1)(上一步洛必达)
=lim (x^2-1)/x^2
=1

追问

不是 ln(1+x)~x(x→0) 吗？