Question

【二次函数题·急啊。。。】已知抛物线y=1/2x2-x+k与x轴有两个交点

1）求k取值范围
2）设抛物线与x轴交于A.B2点，且点A在点B左侧，点D是抛物线顶点，如果三角形ABD为等腰Rt三角形，求抛物线解析式（3）在（2）的条件下，抛物线与y轴交于点C，点E在y轴正半轴上，且以A.O.E为顶点的三角形和以B.O.C为顶点的三角形相似，求点E坐标。

速度啊·················

Answer 1

抛物线要与x轴有两个交点，
即1/2x²-x+k=0，
有△=1-2k＞0，
则k＜1/2；

设A(x₁，0)，B(x₂，0)，由抛物线知D(1，k-1/2)，
因为A、B是抛物线与x轴的两个交点，
则x₁+x₂=2，x₁x₂=2k，
又△ABD为等腰Rt△，
故AD⊥BD，
即直线AD、直线BD的斜率之积为-1，
有[(k-1/2)/(1-x₁)] X [(k-1/2)/(1-x₂)]=-1，
(k-1/2)²=-x₁x₂+(x₁+x₂)-1=-2k+1，
4k²+4k-3=0，
因k＜1/2，
故k=-3/2，
那么抛物线为y=1/2x²-x-3/2；

由抛物线易知A(-1，0)，B(3，0)，C(0，-3/2)，
则AO=1，BO=3，CO=3/2，
设E(0，e)，e＞0，
故EO=e，
因为Rt△AEO中AO、EO与Rt△BCO中BO、CO是直角边，且夹角相等，
故根据两三角形两条对应边成比例，且夹角相等，该两三角形相似，
则要么AO/BO=EO/CO，
解得e=1/2；
要么AO/CO=EO/BO，
解得e=2；
故E(0，1/2)或E(0，2)。

Answer 2

1)k<1/2
2) 题目不完整，请补充完整！