Question

已知一元二次方程X2+(a-3)X+3=0,在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于一小于二，则a的取值范围

答案是-1<a<-0.5 不理解 我的想法是： 设两根为M和N，所以MN=3 M=3/N M+N=-a+3.........R 设1<M<2...........W 所以1<3/N<2 解得1.5<N<3......Q Q+W得2.5<M+N<5..........E 在带入R得-2<a<0.5 这是为什么？

Answer 1

设函数f(x)= x²+(a-3)x+3
∵方程x²+(a-3)x+3=0恒有解，且恰有一个解大于1小于2，
∴f(1)f(2)<0，
即(a+1)(2a+1)<0，
∴-1<a<-1/2.

追问

答案是-1<a<-0.5 不理解 我的想法是：设两根为M和N，所以MN=3 M=3/N M+N=-a+3.........R 设1<M<2...........W 所以1<3/N<2 解得1.5<N<3......Q Q+W得2.5<M+N<5..........E 在带入R得-2<a<0.5 这是为什么？

追答

(a-3)^2-12>=0
(a-3)^2>=12
a-3>=2√3或a-3=3+2√3,a<=3-2√3

令f(x)=x^2+(a-3)x+3
恰有一个解大于1小于2
所以x=1和x=2时，f(x)一个大于0，一个小于0
所以f(1)*f(2)<0
[1+(a-3)+3][4+2(a-3)+3]<0
(a+1)(2a+1)<0
-1<a<-1/2

所以-1<a<-1/2

Answer 2

解：设f(x)＝x²＋(a－3)x＋3，问题等价于 f(x)有一个零点在(1，2)内
根据二次方程根的分布，这等价于 f(1)·f(2)＜0
即[1＋(a－3)＋3]·[4＋(a－3)2＋3]＜0，也即(a＋1)·(2a＋1)＜0
解得－1＜a＜－1/2

Answer 3

由题意可知1<-a+3<2得1<a<4
因为恒有解：（a-3）^2-12>=0得a>=3或a<=-1
综上：3=<a<4

Answer 4

还要考虑根的判别式