Question

如图，已知AC是圆O的直径，PA切圆O于点A，B是圆O上一点，PB=PA

（1）求证：PB是圆O的切线。
（2）若AC=12cm，∠APB=60°，过弧AB上一点D作圆O切线分别交PA、PB于E、F，求三角形PEF的周长。

Answer 1

（1）连接OB、OP
△POA和△POB中
PA=PB，PO=PO，AO=BO（都是半径）
所以△POA≌△POB，∠PAO=∠PBO
因为PA为切线，所以∠PAO=90
因此，∠POB=90。PB为圆切线
（2）连接OD、OE、OF
AC=12，所以OA=AC/2=6
已证△POA≌△POB，∠APO=∠BPO=30
RT△AOD中，PA=√3AO=6√3
因为EF也为圆切线，所以∠ODE=∠ODF=90
△AOE和△DOE中
AO=DO，OE=OE，∠OAE=∠ODE=90
所以△AOE≌△DOE，AE=DE
同理，△BOF≌△DOF，BF=DF
三角形PEF周长为：PE+DF+PF=PE+DE+DF+PF=PE+AE+BF+PF=PA+PB=12√3

Answer 2

1.连PO、BO
△AOP≌△BOP(SSS)
∴∠OAP=∠OBP=90°
∴PB是圆O的切线
2.12√3cm