证明不等式: 当x>1时,e^x>e*x

运用拉格朗日中值定理,要详细过程... 运用拉格朗日中值定理,要详细过程 展开
kknd0279
2011-11-04 · TA获得超过1.9万个赞
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拉格朗日中值定理又称拉氏定理。   如果函数f(x)在(a,b)上可导,[a,b]上连续,则必有一ξ∈[a,b],使得   f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)
设f(x)=e^x-e*x ,f'(x)=e^x-e
对于任意x>1,函数f(t),在(1,x)上可导,[1,x]上连续
则必有一ξ∈[1,x],使得   f'(ξ)*(x-1)=f(x)-f(1)f'(ξ)=e^ξ-e
当ξ>1时,f'(ξ)=e^ξ-e>0
当ξ=1时,f'(ξ)=0,但因为f(x)-f(1)≠0,所以ξ不等于1,ξ∈(1,x],f'(ξ)>0
f(x)=f(1)+f'(ξ)*(x-1)=0+f'(ξ)(x-1)
因为f'(ξ)>0,x>1,所以f(x)>0
e^x-e*x>0,e^x>e*x
fkdwn
2011-11-04 · TA获得超过1.3万个赞
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证明:

构造函数f(x)=e^x-ex
显然f(x)在[1,+∞)上连续,在(1,+∞)上可导
任取a>1, 则f(x)在[1,a]上连续,在(1,a)上可导
由拉格朗日中值定理知,则必至少存在一ξ∈[1,a],使得
f(a)-f(1)=f'(ξ)(a-1)
即e^a-ea-(e-e)=(e^ξ-e)(a-1)>0
∴ e^a>ea
由a的任意性知
当x>1时,e^x>ex

证毕
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Violin蒋
2011-11-04 · TA获得超过525个赞
知道小有建树答主
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证:令f(t)=e^t 对f(t)在[1,x]上满足Lagrange定理条件,根据定理,应有
f(x)-f(1)=f’(£)(x-1),0<£<x
即 e^x-e=(x-1)e^£ ,e^£=(e^x-e)/(x-1) ——①
又 1<£<x 则 e^1<e^£ ——②
将①代入②中得 (e^x-e)/(x-1)>e (x>1) 即 e^x-e>(x-1)e,得 e^x>ex
所以 当x>1时,e^x>ex
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b124790732
2011-11-04
知道答主
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可以证明e^(x-1)>x => e^(x-1)-x>0 令F(x)=e^(x-1)-x 则求F'(x)=e^(x-1)-1 当x>1时F'(X)>0则原函数为增函数,F(x=1)=0 所以当x>1时则F(X)>0 即e^(x-1)-x>0 => e^(x-1)>x => e^x>e*x
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